Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B和點(diǎn)C．連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S．

（1）請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

（2）設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，求出S₀的值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B和點(diǎn)C，

∴令y=0，得x=或x=6；令x=0，得y=8。

∴A（6，0），C（0，8）。

分三種情況討論如下，

情況1：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1，

S=OP•OQ=×3t×8t=12t²。

情況2：當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，

作QE⊥OA，垂足為E，

S=OP•EQ=×3t×。

。

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)即可得出S的最大值：

當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=12t²，函數(shù)的最大值是12；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S，函數(shù)的最大值是；

當(dāng)2＜t＜，S=QP•OF，函數(shù)的最大值不超過(guò)。

∴。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，單雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。