【題目】等腰Rt△ACB,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上.
(1)如圖1,求證:∠BCO=∠CAO
(2)如圖2,若OA=5,OC=2,求B點(diǎn)的坐標(biāo)
(3)如圖3,點(diǎn)C(0,3),Q、A兩點(diǎn)均在x軸上,且S△CQA=18.分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,連接MN交y軸于P點(diǎn),OP的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變?若不變,求出OP的值;若變化,求OP的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(﹣2,﹣3)(3)OP的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變,9
【解析】
(1)根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論即可;
(2)先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D,再判定△CDB≌△AOC(AAS),求得BD=CO=2,CD=AO=5,進(jìn)而得出OD=5-2=3,即可得到B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)先過(guò)N作NH∥CM,交y軸于H,再△HCN≌△QAC(ASA),得出CH=AQ,HN=QC,然后根據(jù)點(diǎn)C(0,3),S△CQA=18,求得AQ=12,最后判定△PNH≌△PMC(AAS),得出,即可求得CP=3+6=9(定值).
解:(1)如圖1,
∵∠ACB=90°,∠AOC=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO,
∴∠BCO=∠CAO;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D,則∠CDB=∠AOC=90°,
在△CDB和△AOC中,
,
∴△CDB≌△AOC(AAS),
∴BD=CO=2,CD=AO=5,
∴OD=5﹣2=3,
又∵點(diǎn)B在第三象限,
∴B(﹣2,﹣3);
(3)OP的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變.
理由:如圖3,過(guò)N作NH∥CM,交y軸于H,則
∠CNH+∠MCN=180°,
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,
∴∠MCQ+∠ACN=180°,
∴∠ACQ+∠MCN=360°﹣180°=180°,
∴∠CNH=∠ACQ,
又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO,
∴∠HCN=∠QAC,
在△HCN和△QAC中,
,
∴△HCN≌△QAC(ASA),
∴CH=AQ,HN=QC,
∵QC=MC,
∴HN=CM,
∵點(diǎn)C(0,3),S△CQA=18,
∴×AQ×CO=18,即×AQ×3=18,
∴AQ=12,
∴CH=12,
∵NH∥CM,
∴∠PNH=∠PMC,
∴在△PNH和△PMC中,
,
∴△PNH≌△PMC(AAS),
∴CP=PH=CH=6,
又∵CO=3,
∴CP=3+6=9(定值),
即OP的長(zhǎng)度始終是9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn) ,.
(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直接寫(xiě)出當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時(shí), 的取值范圍為______.
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求證:AE=CF.
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【題目】如圖,點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),且∠MPN與∠AOB互補(bǔ),若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn),則以下結(jié)論:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4)MN的長(zhǎng)不變,其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【題目】某學(xué)校在暑假期間開(kāi)展“心懷感恩,孝敬父母”的實(shí)踐活動(dòng),倡導(dǎo)學(xué)生在假期中幫助父母干家務(wù),開(kāi)學(xué)以后,校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,就暑假“平均每天幫助父母干家務(wù)所用時(shí)長(zhǎng)”進(jìn)行了調(diào)查,以下是根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖的部分:
根據(jù)上述信息,回答下列問(wèn)題:
在本次隨機(jī)抽取的樣本中,調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
, ;
補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
如果該校共有學(xué)生人,請(qǐng)你估計(jì)“平均每天幫助父母干家務(wù)的時(shí)長(zhǎng)不少于分鐘”的學(xué)生大約有多少人?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(2,0)、B(0,4)、C(-3,0),把△ABC沿x軸向右平移4個(gè)單位,得到△A1B1C1.
(1)在圖中以黑點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出△ABC和△A1B1C1;
(2)寫(xiě)出A1、B1、C1各點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求△ABC的面積.
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(1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是多少元?
(2)該小區(qū)至少需要安放48個(gè)垃圾箱,如果購(gòu)買溫馨提示牌和垃圾箱共100個(gè),且費(fèi)用不超過(guò)10000元,請(qǐng)你列舉出所有購(gòu)買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少是多少元?
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