Question

【題目】已知拋物線c:y=－x2－2x＋3和直線l:y=x＋d。將拋物線c在x軸上方的部分沿x軸翻折180°，其余部分保持不變，翻折后的圖象與x軸下方的部分組成一個“M”型的新圖象(即新函數(shù)m：y=－|x2＋2x－3|的圖象)。

(1)當直線l與這個新圖象有且只有一個公共點時，d= ；

(2)當直線l與這個新圖象有且只有三個公共點時，求d的值；

(3)當直線l與這個新圖象有且只有兩個公共點時，求d的取值范圍；

(4)當直線l與這個新圖象有四個公共點時，直接寫出d的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)d=；(2)d=或d=(3)<d<或d<； (4)<d<。

【解析】

（1）令－x2－2x＋3=x＋d求解即可；

（2）設拋物線c:y=－x2－2x＋3與x軸交于點A(－3,0)，點B(1,0)，則根據(jù)方程有兩個相等的實根求出P的坐標，然后求解即可；

（3）（4）根據(jù)（2）求出的P點坐標進行數(shù)形結合畫圖找出d的取值范圍即可.

解：(1)當直線l經過點A(－3,0)時，d=；

(2)設拋物線c:y=－x2－2x＋3與x軸交于點A(－3,0)，點B(1,0)，

直線l:y=x＋d與拋物線c:y=x2＋2x－3(－3<x<1)相切于點P，則點P的橫坐標恰好是方程x＋d=x2＋2x－3，即2x2＋3x－2d－6=0(－3<x<1)的兩個相等實數(shù)根，解△=9＋8(2d＋6)=0得d=，

∴點P的坐標為().

①當直線l經過點B(1,0)時，直線l與這個新圖象有且只有三個公共點，解得d=；

②當直線l經過點P()時，直線l與這個新圖象有且只有三個公共點，解得d=； 　　　　　　

∴綜合①、②得：d=或d=

(3)①由平移直線l可得：直線l從經過點A(－3,0)開始向下平移到直線l經過點P()的過程中，直線l與這個新圖象有且只有兩個公共點，可得<d<

②直線l從經過點P()繼續(xù)向下平移的過程中，直線l與這個新圖象有且只有兩個公共點，可得d<；

∴綜合①、②得：<d<或d<；

(4)如圖：當直線l經過點B(1,0)時，直線l與這個新圖象有且只有三個公共點，解得d=；

當直線l繼續(xù)向下平移的過程中經過點P()，直線l與這個新圖象有且只有三個公共點，可得d=；

∴要使直線l與這個新圖象有四個公共點則d的取值范圍是<d<.