Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF∥CG；
（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的 ， 與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，

∵△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，

∴∠AFB+∠FAB=90°，

∵線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，

∴EC∥FG，

∵AF=CE，AF=FG，

∴EC=FG，

∴四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，

∴BF=BE= AB= ×2=1，

∴AF= = = ，

由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，

∴S△FEC=S△CGF，

∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，

= + ×2×1+ ×（1+2）×1﹣ ，

= ﹣ ．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行證明；（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF ， 再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計(jì)算即可得解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．