【題目】已知∠MAN=120°,點(diǎn)C是∠MAN的平分線AQ上的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)B,D分別在AN,AM上,連接BD

【發(fā)現(xiàn)】

1)如圖1,若∠ABC=ADC=90°,則∠BCD=   °,CBD   三角形;

【探索】

2)如圖2,若∠ABC+ADC=180°,請(qǐng)判斷CBD的形狀,并證明你的結(jié)論;

【應(yīng)用】

3)如圖3,已知∠EOF=120°,OP平分∠EOF,且OP=1,若點(diǎn)G,H分別在射線OE,OF上,且PGH為等邊三角形,則滿足上述條件的PGH的個(gè)數(shù)一共有   .(只填序號(hào))

2個(gè)3個(gè)4個(gè)4個(gè)以上

【答案】160,等邊;2)等邊三角形,證明見解析(3.

【解析】試題分析:1)利用四邊形的內(nèi)角和即可得出∠BCD的度數(shù),再利用角平分線的性質(zhì)定理即可得出CB,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出∠CDE=ABC,進(jìn)而得出CDE≌△CFBAAS),得出CD=CB,再利用四邊形的內(nèi)角和即可得出∠BCD=60°即可得出結(jié)論;

3)先判斷出∠POE=POF=60°,先構(gòu)造出等邊三角形,找出特點(diǎn),即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,連接BD,

∵∠ABC=ADC=90°,MAN=120°,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得,∠BCD=360°-ABC+ADC+MAN=60°,

AC是∠MAN的平分線,CDAMCBAN,

CD=CB,(角平分線的性質(zhì)定理),

∴△BCD是等邊三角形;

故答案為:60,等邊;

2)如圖2,同(1)得出,∠BCD=60°(根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理),

過(guò)點(diǎn)CCEAME,CFANF,

AC是∠MAN的平分線,

CE=CF

∵∠ABC+ADC=180°,ADC+CDE=180°,

∴∠CDE=ABC,

CDECFB中,

,

∴△CDE≌△CFBAAS),

CD=CB,

∵∠BCD=60°,

∴△CBD是等邊三角形;

3)如圖3,

OP平分∠EOFEOF=120°,

∴∠POE=POF=60°,在OE上截取OG'=OP=1,連接PG',

∴△G'OP是等邊三角形,此時(shí)點(diǎn)H'和點(diǎn)O重合,

同理:OPH是等邊三角形,此時(shí)點(diǎn)G和點(diǎn)O重合,

將等邊PHG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到等邊PG'H',在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,

PGPH分別和OE,OF相交(如圖中G'H')和點(diǎn)P圍成的三角形全部是等邊三角形,(旋轉(zhuǎn)角的范圍為(60°包括60°),

所以有無(wú)數(shù)個(gè);

理由:同(2)的方法.

故答案為④

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