Question

【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部△CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，求此時(shí)△EMN的面積；

（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x 米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；

（3）請(qǐng)你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值，若有，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）0.5平方米；（2）0＜x≤1時(shí)，S=x；1＜x＜ 時(shí)，S= ；（3）1或

【解析】試題分析：（1）要看圖解答問題．得出當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN邊上的高為0.5米可得出三角形EMN的面積；

（2）本題要分情況解答（0<x≤1；1<x<1+）．當(dāng)0<x≤1時(shí)，可直接得出三角形的面積函數(shù)；當(dāng)1<x<1+，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出三角形面積函數(shù)；

（3）本題也要分兩種情況解答：當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)以及當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)），利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x，可直接由圖得出取值范圍；當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在對(duì)稱軸時(shí)取得最大值．

試題解析：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時(shí)，MN應(yīng)位于DC下方，且此時(shí)△EMN中MN=AB=2米，MN邊上的高為0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面積為0.5平方米.

（2）①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，即0＜x≤1時(shí)，此時(shí)MN=AB=2米，

∴△EMN的面積S= ；

②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜ 時(shí).如圖，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，

∵ E為AB中點(diǎn)，

∴易得 F為CD中點(diǎn)，

GF⊥CD,且FG＝ .

∴GH= ，

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴ ，

∴，即．

故△EMN的面積S＝＝＝；

（3）①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，

S= ， ，所以當(dāng)=1時(shí)，有S最大= 1；

②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，

S= ，（1＜x＜）.

所以，當(dāng)=時(shí)，有S最大=

綜合①、②得：當(dāng)=時(shí)，S的最大值為 平方米.