Question

【題目】心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力y隨時間t（分鐘）的變化規(guī)律有如下關(guān)系式： （y值越大表示接受能力越強）

（1）講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較，何時學生的注意力更集中；

（2）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中能持續(xù)多少分鐘；

（3）一道數(shù)學難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力最低達到180，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

Answer 1

【答案】（1）講課開始后第25分鐘時學生的注意力比講課開始后第5分鐘時更集中；（2）講課開始后10分鐘時，學生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘；（3）老師可以經(jīng)過適當安排，能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

【解析】試題分析：

（1）把t=5和t=25分別代入對應的函數(shù)關(guān)系式求出y的值，并比較大小即可得出結(jié)論；

（2）由自變量的取值范圍分別求出第一段函數(shù)和第三段函數(shù)中函數(shù)值取最大值時對應的自變量取值結(jié)合兩段函數(shù)的增減性及第二段函數(shù)的函數(shù)值為固定的240分析即可得到本題答案；

（3）分別在第一段函數(shù)和第三段函數(shù)中，由y=180解得對應的x的值，即可求得注意力y不低于180的持續(xù)時間是多長，由此即可得到本題答案.

試題解析：

（1）當t=5時，y=195，當t=25時，y=205

∴講課開始后第25分鐘時學生的注意力比講課開始后第5分鐘時更集中．

（2）①當0＜t≤10時，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，

該段函數(shù)圖象的對稱軸為直線t=12，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，

∴當t=10時，y有最大值240；

②當10＜t≤20時，y=240；

③當20＜t≤40時，y=﹣7t+380，y隨t的增大而減小，

故此時y＜240；

∴綜上所述，當t=10時，y有最大值240，持續(xù)時間為：20-10=10（分鐘），

即：講課開始后10分鐘時，學生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．

（3）當0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，解得t1=4，t2=20（不在取值范圍內(nèi)，舍去），

當20＜t≤40時，令y=﹣7t+380=180，解得t=28.57

∵28.57﹣4＞24，

∴老師可以經(jīng)過適當安排，能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.