Question

【題目】如圖，在中，，點是邊的中點，過點作于點，的外接圓與邊交于點，，

（1）①補全圖形；②判斷直線與的外接圓的公共點個數(shù)，并給出證明．

（2）若，，求線段的長度．

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②1個,證明見解析;(2)3

【解析】

(1)①△ADC是直角三角形,則斜邊AC的中點即為外接圓的圓心;

②利用等腰三角形ABC和等腰三角形ODC角度的關系,推導出∠ODE=90°,證OD與圓相切;

(2)如下圖,連接CF,則DE是△BCF的中位線,在Rt△AFC中,利用三角函數(shù)關系表示出AF、FC、AC之間的長度關系，結合BE的長度可求得

(1)①圖像如下,取AC的中點O,以OA為半徑作圓,圓AB交于點F

②如下圖，連接OD

∵△ADC是直角三角形，點O是AC的中點

∴OA=OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=∠ODC

∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠EBD+∠EDB=90°

∴∠EDB+∠ODC=90°，∴∠EDO=90°

∴ED與圓O相切，所以有1個交點

(3)如下圖，連接CF

∵AC是圓O的直徑，∴∠AFC=90°

又∵∠DEB=90°，∴DE∥CF

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC

∴DE是△BCF的中位線

∵BE=1，∴EF=1

∵cos∠BAC=

∴在Rt△ACF中，設AF=3x，則AC=5x，

∴AB=5x，∴BF=2x=2，∴x=1

∴AF=3