【題目】已知:△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是△ABC(包含邊界)平面內(nèi)一點(diǎn),連接CD,將線段CD繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,連接BE,DE,AD,并延長AD交BE于點(diǎn)P.
(1)觀察填空:當(dāng)點(diǎn)D在圖1所示的位置時(shí),填空:
①與△ACD全等的三角形是______.
②∠APB的度數(shù)為______.
(2)猜想證明:在圖1中,猜想線段PD,PE,PC之間有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:如圖2,當(dāng)△ABC邊長為4,AD=2時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE的最大值.
【答案】(1)①△BCE;②60°;(2)PD+PE=PC,證明見解析;(3)CE的最大值為6.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定證明即可;
②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;
(3)由(1)可得CE=CD,根據(jù)D點(diǎn)在線段AC上,CD長度最小;D點(diǎn)在CA的延長線上,CD的長度最大,求出CD的最大值即可求得線段CE的最大值.
(1)①如圖1中,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°,
∵將線段CD繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,
∴CE=CD,∠DCE=60°,
∴△DCE是等邊三角形,
∴∠DCE═60°,
∵∠ACD+∠DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
故答案為:△BCE.
②∵△ACD≌△BCE,
∴∠EBC=∠DAC,
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°,
∴∠PBC+∠BAD=60°,
∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°;
故答案為:60°.
(2)結(jié)論:PD+PE=PC.
理由:∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD,
∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠DBC=60°,
∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°,
∵∠APB=60°,
∴△BDP是等邊三角形,
∴DP=BP,
∴PD+PE=BE,
∵△ADC≌△BEC,
∴AD=BE,
∵在△ABD與△CBP中
,
∴△ABD≌△CBP(SAS),
∴AD=PC,
∴PD+PE=PC;
(3)如圖2中,
∵AC=4,AD=2,
∴D點(diǎn)在線段AC上,CD長度最。D點(diǎn)在CA的延長線上,CD的長度最大,
∴4-2≤CD≤4+2,
∴2≤CD≤6.
∴CD的最大值為6,
由(1)可知△ACD≌△BCE,EC=CD,
∴EC的最大值為6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長為6,是邊上的一點(diǎn),繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到.三點(diǎn)在同一直線上.
(1)求四邊形的面積.
(2)如果點(diǎn)在邊上,且,試判斷之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
(3)在(2)的條件下,若,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)A1、A2、A3在x軸上,且OA1=A1A2=A2A3,分別過點(diǎn)A1、A2、A3作y軸的平行線,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)B1、B2、B3,分別過點(diǎn)B1、B2、B3作x軸的平行線,分別與y軸交于點(diǎn)C1、C2、C3,連接OB1、OB2、OB3,若圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為,則k= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= -x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B、C,經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸為直線x=2.
(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)連結(jié)AC.請(qǐng)問在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校有3000名學(xué)生.為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式,該校數(shù)學(xué)興趣小組以問卷調(diào)查的形式,隨機(jī)調(diào)查了該校部分學(xué)生的主要上學(xué)方式(參與問卷調(diào)查的學(xué)生只能從以下六個(gè)種類中選擇一類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
種類 | A | B | C | D | E | F |
上學(xué)方式 | 電動(dòng)車 | 私家車 | 公共交通 | 自行車 | 步行 | 其他 |
某校部分學(xué)生主要上學(xué)方式扇形統(tǒng)計(jì)圖某校部分學(xué)生主要上學(xué)方式條形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)參與本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有____人,其中選擇B類的人數(shù)有____人.
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求E類對(duì)應(yīng)的扇形圓心角α的度數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若將A、C、D、E這四類上學(xué)方式視為“綠色出行”,請(qǐng)估計(jì)該校每天“綠色出行”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣3,﹣3),點(diǎn)B(﹣1,﹣3),點(diǎn)C(﹣1,﹣1).
(1)畫出△ABC;
(2)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出A1點(diǎn)的坐標(biāo): ;
(3)以O為位似中心,在第一象限內(nèi)把△ABC擴(kuò)大到原來的兩倍,得到△A2B2C2,并寫出A2點(diǎn)的坐標(biāo): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(2,0)的直線l與y軸交于點(diǎn)B,tan∠OAB=,直線l上的點(diǎn)P位于y軸左側(cè),且到y軸的距離為1.
(1)求直線l的表達(dá)式;
(2)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)同學(xué)們就餐時(shí)剩余飯菜較多,浪費(fèi)嚴(yán)重,于是準(zhǔn)備在校內(nèi)倡導(dǎo)“光盤行動(dòng)”,讓同學(xué)們珍惜糧食,為了讓同學(xué)們理解這次活動(dòng)的重要性,校學(xué)生會(huì)在某天午餐后,隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)這餐飯菜的剩余情況,并將結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有 人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并在圖上標(biāo)明相應(yīng)的數(shù)據(jù);
(3)校學(xué)生會(huì)通過數(shù)據(jù)分析,估計(jì)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供50人食用一餐.據(jù)此估算,該校18000名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供多少人食用一餐.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C',此時(shí)點(diǎn)A'恰好在AB邊上,則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為( )
A. 12 B. 6 C. 6 D.
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