Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點左側(cè)，B點的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于C（0，﹣4）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在，P點的坐標(biāo)為（，﹣2）；

（3）此時P點的坐標(biāo)為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標(biāo)．

試題解析：（1）將B、C兩點的坐標(biāo)代入得：

，

解得：；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；

設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣4），

∴CO=4，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=2

∴y=﹣2；

∴x2﹣3x﹣4=﹣2

解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴P點的坐標(biāo)為（，﹣2）；

（3）如圖2，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣4，

則Q點的坐標(biāo)為（x，x﹣4）；

當(dāng)0=x2﹣3x﹣4，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴AO=1，AB=5，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+ x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]

=﹣2x2+8x+10

=﹣2（x﹣2）2+18

當(dāng)x=2時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標(biāo)為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．