Question

【題目】如圖，在中，是邊上的中線，是中點，過點作，交的延長線于點交于點，連接交于點.

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由;

(2)若，且，求四邊形的面積.

(3)連接，求證：.

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABDE是菱形．理由見解析；（2）12；（3）見解析.

【解析】（1）先判定△AOE≌△DOB（ASA），得出AE=BD，根據(jù)AE∥BD，即可得出四邊形ABDE是平行四邊形，再根據(jù)BD=BA，即可得到平行四邊形ABDE是菱形；
（2）根據(jù)四邊形ABDE是菱形，AB=，且OA：OB=2：3，運用勾股定理求得AD=4，BE=6，即可得出菱形ABDE的面積；
（3）根據(jù)菱形的性質得出∠GDF=∠DCF，再根據(jù)∠GFD=∠DFC，即可判定△DFG∽△CFD，進而得到，據(jù)此可得DF2=FGFC．

（1）四邊形ABDE是菱形．理由如下：

∵AE∥BC，∴∠EAO=∠BDO，∵O是AD中點，∴AO=DO，

在△AOE和△DOB中，，

∴△AOE≌△DOB（ASA），∴AE=BD，

又∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵AD是BC邊上的中線，∴BC=2BD，

又∵BC=2AB，∴BD=BA，∴平行四邊形ABDE是菱形；

（2）∵四邊形ABDE是菱形，∴AD⊥BE，AO=AD，BO=BE，

設OA=2k，OB=3k，在Rt△AOB中，由勾股定理得，4k2+9k2=13，解得k=1，

∴OA=2，OB=3，∴AD=4，BE=6，

∴菱形ABDE的面積=×4×6=12；

（3）證明：∵四邊形ABDE是菱形，

∴BE垂直平分AD，∴EA=ED，FA=FD，

∴∠EAO=∠EDO，∠FAO=∠FDO，∴∠EAF=∠EDF，

∵AE∥BC，∴∠EAO=∠DCF，∴∠GDF=∠DCF，

又∵∠GFD=∠DFC，

∴△DFG∽△CFD，

∴=，∴DF2=FGFC．