【題目】如圖1,在△ABC和△MNB中,∠ACB=∠MBN=90°,AC=BC=4,MB=NB= BC,點(diǎn)N在BC邊上,連接AN,CM,點(diǎn)E,F(xiàn),D,G分別為AC,AN,MN,CM的中點(diǎn),連接EF,F(xiàn)D,DG,EG.
(1)判斷四邊形EFDG的形狀,并證明;
(2)如圖2,將圖1中的△MBN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,猜想此時(shí)四邊形EFDG的形狀,并證明.

【答案】
(1)解:四邊形EFDG是平行四邊形,

理由:如圖1,連接AM,

∵E、F、D、G分別為AC、AN、MN、CM的中點(diǎn),

∴FD=EG= AM,EF=GD= CN,

∴四邊形EFDG是平行四邊形;


(2)解:四邊形EFDG是正方形,

理由:如圖2,連接CN,AM,分別交EF、CN于點(diǎn)L與K,

由已知得:點(diǎn)M和點(diǎn)D分別落在BC與AB邊上,

∴CM=CB﹣BM=4﹣2=2,

∴CM=BN,

∵∠ACM=∠CBN=90°,AC=BC,

∴△ACM≌△CBN(SAS),

∴AM=CN,∠CAM=∠BCN,

∵∠ACK+∠KCM=90°,

∴∠ACK+∠CAK=90°,

在△ACK中,∠AKC=180°﹣(∠ACK+∠CAK)=180°﹣90°=90°,

由(1)可得EG∥AM∥FD,EF∥CN∥GD,

∴四邊形EFDG是平行四邊形,

∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°,

∴四邊形EFDG是矩形,

∵EG= AM= CN=EF,

∴四邊形EFDG是正方形.


【解析】(1)四邊形EFDG是平行四邊形,理由為:如圖1,連接AM,由E、F、G、H分別為中點(diǎn),利用利用中位線定理得到兩組對(duì)邊相等,即可得證;(2)四邊形EFDG為正方形,理由為:如圖2,連接CN,AM,分別交EF、CN于點(diǎn)L與K,由CB﹣BM求出CM的長(zhǎng),得到CM=BN,再由一對(duì)直角相等,AC=BC,利用SAS得到三角形ACM與三角形CBN全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等得到AM=CN,∠CAM=∠BCN,利用同角的余角相等,求出∠AKC為直角,利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EFDG為平行四邊形,再由一個(gè)內(nèi)角為直角,且鄰邊相等即可得證.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰直角三角形和三角形中位線定理,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)C在線段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).

(1)求線段MN的長(zhǎng);

(2)若C為線段AB上任一點(diǎn),滿足AC+CB=a cm,其它條件不變,你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎?并說(shuō)明理由;

(3)若C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且滿足ACBC=bcm,M、N分別為AC、BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)畫(huà)出圖形,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;

(4)你能用一句簡(jiǎn)潔的話,描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(10分)某商場(chǎng)用2500元購(gòu)進(jìn)了A、B兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共50盞,這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià),標(biāo)價(jià)如下表所示:

(1)這兩種臺(tái)燈各購(gòu)進(jìn)多少盞?

(2)若A型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的九折出售,B型臺(tái)燈按標(biāo)價(jià)的八折出售,那么這批臺(tái)燈全部售完后,商場(chǎng)共獲利多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一只螞蟻在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)爬行,點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn),∠MON=90°,OM,ON分別交線段AB,BC于M,N兩點(diǎn),則螞蟻停留在陰影區(qū)域的概率為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,△OBC的頂點(diǎn)分別為O(0,0),B(3,﹣1)、C(2,1).

(1)以點(diǎn)O(0,0)為位似中心,按比例尺2:1在位似中心的異側(cè)將△OBC放大為△OB′C′,放大后點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′,畫(huà)出△OB′C′ , 并寫(xiě)出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo):B′( , ),C′( , );
(2)在(1)中,若點(diǎn)M(x,y)為線段BC上任一點(diǎn),寫(xiě)出變化后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)( , ).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】暑期臨近,重慶市某中學(xué)校為了豐富學(xué)生的暑期文化生活,同時(shí)幫助孩子融洽親子關(guān)系,增進(jìn)親子間的情感交流,計(jì)劃組織學(xué)生去某景區(qū)參加為期一周的親子一家游活動(dòng). 若報(bào)名參加此次活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)共有56人,其中要求參加的每名學(xué)生都至少需要一名家長(zhǎng)陪同參加.

(1)假設(shè)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)人數(shù)是參加學(xué)生人數(shù)的2倍少2人,為了此次活動(dòng)學(xué)校專門(mén)為每名學(xué)生和家長(zhǎng)購(gòu)買一件T恤衫, 家長(zhǎng)的T恤衫每購(gòu)買8件贈(zèng)送1件學(xué)生T恤衫(不足8件不贈(zèng)送),學(xué)生T恤衫每件15元,學(xué)校購(gòu)買服裝的費(fèi)用不超過(guò)3401元,請(qǐng)問(wèn)每件家長(zhǎng)T恤衫的價(jià)格最高是多少元?

(2)已知該景區(qū)的成人票價(jià)每張100元,學(xué)生票價(jià)每張50元,為了支持此次活動(dòng),該景區(qū)特地推出如下優(yōu)惠活動(dòng):每張成人票價(jià)格下調(diào)a%,學(xué)生票價(jià)格下調(diào).a% 另外,經(jīng)統(tǒng)計(jì)此次參加活動(dòng)的家長(zhǎng)人數(shù)比學(xué)生人數(shù)多a%, 參加此次活動(dòng)的購(gòu)買票價(jià)總費(fèi)用比未優(yōu)惠前減少了a%,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點(diǎn)D,DEAC,DFBC,DGAB,垂足分別是E,FG.

(1)求證:AEBF;

(2)AE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在中,邊上的中線,中點(diǎn),過(guò)點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)于點(diǎn),連接于點(diǎn).

(1)判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由;

(2),且,求四邊形的面積.

(3)連接,求證:.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,已知學(xué)校的坐標(biāo)為A(2,2).

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫(xiě)出圖書(shū)館的坐標(biāo);

(2)若體育館的坐標(biāo)為C(-2,3),請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中標(biāo)出體育館的位置,并順次連接學(xué)校、圖書(shū)館、體育館,得到ABC,求ABC的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案