Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+2ax+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），tan∠OAC=$\frac{3}{4}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，過H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PH的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC=$\frac{3}{4}$可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，設(shè)N（x，0）（-4＜x＜0），可找出H、P的坐標(biāo)，由此即可得出PH關(guān)于x的解析式，利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，根據(jù)角的計算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進(jìn)而得出MG=CK．設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=$\frac{3}{4}$，
∴OA=4，
∴A（-4，0）．
把A（-4，0）、C（0，3）代入y=ax²+2ax+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a-8a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3．
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3．
設(shè)N（x，0）（-4＜x＜0），則H（x，$\frac{3}{4}$x+3），P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），
∴PH=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3-（$\frac{3}{4}$x+3）=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x=-$\frac{3}{8}$（x+2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴PH有最大值，
當(dāng)x=-2時，PH取最大值，最大值為$\frac{3}{2}$．
（3）過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，則∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四邊形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEG=∠CMK}\\{∠MGE=∠CKM=90°}\\{EM=MC}\end{array}\right.$，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由拋物線的對稱軸為x=-1，設(shè)M（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），則G（-1，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），K（0，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3-3|=|-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x|=|$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x|，
∴|x+1|=|$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x|，
∴$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x=±（x+1），
解得：x₁=-4，x₂=-$\frac{2}{3}$，x₃=-$\frac{4}{3}$，x₄=2，
代入拋物線解析式得：y₁=0，y₂=$\frac{10}{3}$，y₃=$\frac{10}{3}$，y₄=0，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-4，0），（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），（-$\frac{4}{3}$，$\frac{10}{3}$）或（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)鍵．