【題目】ABC是等邊三角形,P為平面內(nèi)的一個動點,BP=BA,0<PBC<180 DB平分∠PBC,且DB=DA

1)當(dāng)BPBA重合時(如圖1),求∠BPD的度數(shù);

2)當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(如圖2),求∠BPD的度數(shù);

3)當(dāng)BP在∠ABC的外部時,請你直接寫出∠BPD的度數(shù).

【答案】130°;(230°;(3)∠BPD=30°或150°.

【解析】

1)由于P,A重合,DP=DB,∠DBP=DPB,因為DB是∠PBC的平分線,因此,∠DBP=DPB=30°;
2)連接CD,BP=BCBD又是∠PBC的平分線,則△PBD≌△CBD,有∠BPD=BCD,那么關(guān)鍵是求∠BCD的值,可通過證明△ACD和△BCD全等來得出,∠BCD=ACD=30°,然后求出∠BPD的度數(shù);
3)同(2)的證法完全一樣,先求出∠BCD的度數(shù),然后證明△BPD≌△BCD.(當(dāng)∠BPD是鈍角時,∠BPD=BCD=360-60)÷2=150°,還是用的(2)中的△BPD≌△BCD,△BCD≌△ACD.

解:(1)在等邊三角形ABC中,

∴∠ABC=PBC=60°,

DB平分∠PBC

∴∠PBD=30°

DB=DA,

∴∠DBP=DPB=30°;

2)如圖,連接CD


∵點D在∠PBC的平分線上
∴∠PBD=CBD
∵△ABC是等邊三角形
BA=BC=AC,∠ACB=60°
BP=BA
BP=BC
BD=BD
∴△PBD≌△CBDSAS
∴∠BPD=BCD
DB=DABC=AC,CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠BCD=ACD=ACB=30°
∴∠BPD=30°;

3)當(dāng)BP在∠ABC的外部時,如圖

當(dāng)∠BPD是銳角時,由(2)知,△BCD≌△ACD
∴∠BCD=ACD=ACB=30°,

由△PBD≌△CBD

∴∠BPD=30°;

當(dāng)∠BPD是鈍角時,由(2)知,△BCD≌△ACD
∴∠BCD=ACD

∴∠BCD=360°-60°)÷2=150°,

由△PBD≌△CBD,

∴∠BPD=BCD=150°;

綜合上述,∠BPD=30°或150°.

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