Question

9．拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過點A，B，C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+2x+c經(jīng)過點A（-1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令y=-x²+2x+3=0，求得點B的坐標，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當△BDC的面積最大時，點P的坐標；
（3）求得頂點E的坐標，過點C作CH⊥EF，則CH=1．然后分①點N在EH上時，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大，然后根據(jù)勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的最大值；②點N在線段HF上時，設(shè)HN=x，然后表示出NF，根據(jù)同角的余角相等求出∠NCH=∠MNF，然后證明△NCH和△MNF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出MF的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標，求出m的最小值．

解答 解：（1）由題意得：A（-1，0），C（0，3）．y=ax²+2x+c
$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，令y=0，則-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x=3
即B（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，
則 $\left\{\begin{array}{l}{3k+b′=0}\\{b′=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直線AC的解析式為y=-x+3．
設(shè)P（a，-a+3），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（-a+3）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）=$\frac{1}{2}$PD•3=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當a=$\frac{3}{2}$時，△BDC的面積最大，此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點E的坐標為（1，4）．
如圖，過點C作CH⊥EF，則CH=1．
①點N在EH上時，如圖2①，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大．
∵∠MNC=90°，∴CE²+EM²=CM²，
∵C（0，3），E（1，4），M（m，0），
∴（1-0）²+（4-3）²+（m-1）²+（0-4）²=（m-0）²+（0-3）²，
解得m=5．
∴點M的坐標為（ 5，0），
即m的最大值為5；
②點N在線段HF上時，如圖2②，設(shè)HN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNH+∠MNF=90°，
又∵∠CNH+∠NCH=90°，
∴∠NCH=∠MNF，
又∵∠NHC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴$\frac{CH}{NF}$=$\frac{HN}{MF}$，即 $\frac{1}{3-x}$=$\frac{x}{MF}$，
整理得，MF=x（3-x）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，MF有最大值$\frac{9}{4}$，
∴M的坐標為（-$\frac{5}{4}$，0），
∴m的最小值為-$\frac{5}{4}$，
故實數(shù)m的變化范圍為-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．