Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點M為AB的中點，點N為AD邊上的一動點，將△AMN沿MN折疊，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD的對角線上時，AN的長度為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情況討論，當點P落在BD上時，由折疊的性質可得AM=MP=BM，AN=NP，可證∠APB=90°，由余角的性質可得∠NPD=∠ADP，可得AN=NP=DN=；當點P在AC上時，通過證明△MAN∽△CBA，利用對應邊成比例即可求解．

當點P落在BD上時，如圖，

∵點M為AB的中點，

∴AM＝BM＝AB＝1，

∵將△AMN沿MN折疊，點A落在點P處，

∴AM＝MP，AN＝NP，

∴AM＝MP＝BM＝1，∠NAP＝∠NPA，

∴∠APB＝90°，

∴∠NAP+∠ADP＝90°，∠APN+∠NPD＝90°，

∴∠NPD＝∠ADP，

∴AN＝ND，

∴AN＝NP＝DN＝AD＝；

若點P落在AC上時，連接AC交MN于點H，如圖，

∵將△AMN沿MN折疊，

∴AC⊥MN，

∵∠ABC+∠BCH+∠CHM+∠BMH＝360°，

∴∠BMH+∠BCH＝180°，

又∵∠AMN+∠BCH＝180°，

∴∠AMN＝∠BCH，

又∵∠MAN＝∠CBA＝90°，

∴△MAN∽△CBA，

∴，

∴AN＝，

故答案為：或．