【題目】已知二次函數(shù)Ly軸交于點(diǎn)C(0,3),且過點(diǎn)(1,0)(3,0)

(1)求二次函數(shù)L的解析式及頂點(diǎn)H的坐標(biāo)

(2)已知x軸上的某點(diǎn)M(t,0);若拋物線L關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的新拋物線為L,且點(diǎn)C、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,H;試說明四邊形CHCH為平行四邊形.

(3)若平行四邊形的邊與某一條對(duì)角線互相垂直時(shí),稱這種平行四邊形為和諧四邊形;在(2)的條件下,當(dāng)平行四邊形CHCH和諧四邊形時(shí),求t的值.

【答案】1 y=x24x+3,(2,﹣1);(2)見解析;(3 t=4或﹣6

【解析】

1)利用待定系數(shù)法可求解析式,由配方法可求頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)由中心對(duì)稱的性質(zhì)可得CM=C'M,HM=H'M,可得結(jié)論;

3)分四種情況討論,由兩點(diǎn)距離公式和一次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

1)設(shè)二次函數(shù)L的解析式為:y=ax2+bx+c(a≠0)

由題意可得:

解得:

∴二次函數(shù)L的解析式為:y=x24x+3,

y=x24x+3=(x2)21

∴頂點(diǎn)H的坐標(biāo)(2,1)

故答案為:y=x24x+3,(2,1)

2

∵若拋物線L關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的新拋物線為L,且點(diǎn)CH的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,H

CM=C'M,HM=H'M

∴四邊形CHCH為平行四邊形;

3)∵點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)H(2,1)

∴直線CH解析式為:y=2x+3;

CC'CH時(shí),則CC'解析式為:

當(dāng)y=0時(shí),

t=6;

HH'CH時(shí),則HH'解析式為:

當(dāng)y=0時(shí),

t=4

∵若拋物線L關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的新拋物線為L,且點(diǎn)C、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為CH;

∴點(diǎn)C'(2t,﹣3),點(diǎn)H'(2t21)

CH'HH',則H'C2+H'H2=CH2

(2t20)2+(31)2+(2t22)2+(1+1)2=(02)2+(3+1)2,

t=

CC'CH',則H'C2+C'C2=C'H'2,

(2t20)2+(31)2+(2t0)2+(3+3)2=(02)2+(3+1)2,

∴△<0,方程無解;

綜上所述:t=4或﹣6

故答案為:t=4或﹣6

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(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)圖像在第二象限內(nèi)的一線,過點(diǎn)Py軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)C,求線段PC長(zhǎng)度的最大值.

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2)當(dāng)時(shí),求之間的函數(shù)解析式;

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