Question

8．已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y=a（x-h）²+k在坐標平面上的圖象通過（0，2）、（6，8）兩點．若a＜0，0＜h＜6．
（1）試用含a的代數(shù)式表示h；
（2）問是否存在滿足a和h同時為整數(shù)的函數(shù)表達式，若存在請寫出此關(guān)系式，若不存在請簡要說明理由；
（3）若二次函數(shù)y=a（x-h）²+k在坐標平面上的圖象通過（0，m）、（6，n）兩點，滿足a＜0，0＜h＜6，探究：隨著m與n的大小關(guān)系的變化，指出對應(yīng)的h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）列出方程組消去k即可解決問題．
（2）不存在．理由是當(dāng)a是整數(shù)時，h不可能是整數(shù)．
（3）分三種情形討論即可．根據(jù)拋物線的大致圖象，根據(jù)頂點式得到拋物線的對稱軸為直線x=h，由對稱軸位置列出不等式即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{2=a{h}^{2}+k}&{①}\\{8=a（6-h）^{2}+k}&{②}\end{array}\right.$
②-①得到，6=36a-12ah，
∴h=3-$\frac{1}{2a}$，

（2）不存在．理由如下：
∵a，h是整數(shù)，
∵h=3-$\frac{1}{2a}$，
∴當(dāng)a是整數(shù)時，h不可能是整數(shù)，
∴不存在．

（3）①當(dāng)m=n時，h=3．
②當(dāng)m＜n時，則點（0，m）到對稱軸的距離大于點（6，n）到對稱軸的距離，所以h-0＞6-h，
∴h＞3，
∴3＜h＜6．
③當(dāng)m＞n時，則點（0，m）到對稱軸的距離小于點（6，n）到對稱軸的距離，所以h-0＜6-h，
∴h＜3，
∴0＜h＜3．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．