Question

2．如圖，在△ABC中，AB=10，BC=12，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D．過點(diǎn)D的⊙O的切線垂直AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E．
（1）連接OD，則OD與AC的位置關(guān)系是平行．
（2）求AC的長．
（3）求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，則OD與AC的位置關(guān)系式是平行，理由為：由EF為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直與EF，再由AF與EF垂直，利用垂直于同一條直線得到兩條直線平行得證；
（2）根據(jù)O為AB的中點(diǎn)，且OD與AF平行，得到OD為三角形ABC的中位線，得到OD為AC的一半，由OD的長求出AC的長即可；
（3）由（2）得到D為BC中點(diǎn)，求出BD與DC長，過B點(diǎn)作EF的垂線BH，垂足為H點(diǎn)，連接AD，可得BH，OD，AC三直線平行，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠ADB=90°，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角，得到三角形DBH與三角形ABD相似，由相似得比例求出BH的長，再由BH與OD平行得到三角形BHE與三角形ODE相似，由相似得比例求出設(shè)BE為x，求出BE的長，在直角三角形BHE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinE的值即可．

解答 解：（1）連接OD，則OD與AC的位置關(guān)系是平行，理由為：
∵EF與圓O相切，
∴OD⊥EF，
∵AF⊥EF，
∴OD∥AC；
故答案為：平行；
（2）∵O為AB中點(diǎn)，OD∥AC，且OD=AO=OB=5，
∴OD為△BAC在底AC邊上的中位線，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=2OD=10；
（3）由（2）知D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=6，
過B點(diǎn)作EF的垂線BH，垂足為H點(diǎn)，連接AD，則有BH∥OD∥AC，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠HDB=∠DAB，∠ADB=∠DHB=90°，
∴△DBH∽△ABD，
∴$\frac{BD}{BH}$=$\frac{AB}{BD}$，即$\frac{6}{BH}$=$\frac{10}{6}$，
解得：BH=3.6，
設(shè)BE=x，
∵BH∥OD，
∴△EHB∽△EDO，
∴$\frac{OD}{BH}$=$\frac{OE}{BE}$，即$\frac{5}{3.6}$=$\frac{x+5}{x}$，
解得：x=$\frac{90}{7}$，即BE=$\frac{90}{7}$，
∴sinE=$\frac{BH}{BE}$=3.6÷$\frac{90}{7}$=$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評 此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，以及圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．