【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:若存在過(guò)點(diǎn)P的直線l交⊙C于異于點(diǎn)PAB兩點(diǎn),在P,AB三點(diǎn)中,位于中間的點(diǎn)恰為以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí),則稱點(diǎn)P為⊙C 的相鄰點(diǎn),直線l為⊙C關(guān)于點(diǎn)P的相鄰線.

1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),

①分別判斷在點(diǎn)D, ),E0,),F4,0)中,是⊙O的相鄰點(diǎn)有  ;

②請(qǐng)從①中的答案中,任選一個(gè)相鄰點(diǎn),在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線,并說(shuō)明你的作圖過(guò)程;

③點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離d滿足范圍___________________時(shí),點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn);

④點(diǎn)P在直線y=﹣x+3上,若點(diǎn)P為⊙O的相鄰點(diǎn),求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的取值范圍;

2C的圓心在x軸上,半徑為1,直線y=x+2x軸,y軸分別交于點(diǎn)M,N,若線段MN上存在⊙C的相鄰點(diǎn)P,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

【答案】(1)①D、E ② 證明見解析;③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3;(2) 0≤x≤9

【解析】試題分析:(1)由相鄰點(diǎn)的定義可知:在圓C內(nèi)的點(diǎn)必為相鄰點(diǎn),在圓C外的點(diǎn)必須滿足,2AB2=PC2-1,其中APB的中點(diǎn),且AB≤2,所以若半徑為1的圓C有相鄰點(diǎn)P,則PC的長(zhǎng)必須滿足0≤PC≤3PC≠1,分別求出D、E、F到⊙O的距離即可判斷.求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,3)和(3,0),根據(jù)(1)問(wèn)中結(jié)論可知,P的橫坐標(biāo)的取值范圍是:0≤x≤3;

(2)根據(jù)(1)問(wèn)中可知:0≤PC≤3PC≠1,又因?yàn)辄c(diǎn)P在線段MN上移動(dòng),所以點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心,半徑為3的圓內(nèi),且不能在以點(diǎn)P為圓心,半徑為1的圓上,再根據(jù)點(diǎn)Cx軸上,即可得出C的橫坐標(biāo)取值范圍.

試題解析:(1)由定義可知,

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí),

由垂徑定理可知,點(diǎn)P必為⊙C的相鄰點(diǎn),

此時(shí),0≤PC<1;

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C外時(shí),設(shè)點(diǎn)APB的中點(diǎn),連接PC交⊙C于點(diǎn)M,延長(zhǎng)PC交⊙C于點(diǎn)N,連接AM,BN,

∵∠AMP+NMA=180°,

B+NMA=180°,

∴∠AMP=B,

∵∠P=P,

∴△AMP∽△NBP,

,

PAPB=PMPN,

∵點(diǎn)APB的中點(diǎn),

AB=PA,

又∵⊙C的半徑為1,

2AB2=(PC-CM)(PC+CN),

2AB2=PC2-1,

又∵AB是⊙C的弦,

AB2,

2AB2≤8,

PC2-1≤8,

PC2≤9,

PC3,

∵點(diǎn)P在⊙C外,

PC>1,

1<PC≤3,

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C上時(shí),

此時(shí)PC=1,但不符合題意,

綜上所述,半徑為1的⊙C,當(dāng)點(diǎn)P與圓心C的距離滿足:0≤PC≤3,且PC≠1時(shí),點(diǎn)P為⊙C的相鄰點(diǎn);

①∵D(, ),

DO=,

E(0,-),

OE=,

F(4,0),

OF=4,

DE是⊙O的相鄰點(diǎn);

②連接OD,過(guò)點(diǎn)DOD的垂線交⊙OA、B兩點(diǎn);

③令x=0代入y=-x+3,

y=3,

y=0代入y=-x+3,

x=3,

y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,3)和(3,0)

∵由于點(diǎn)P在直線y=-x+3上,且點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn),

0PO3,且PO≠1

又∵點(diǎn)P在⊙O外,

1<PO≤3,

p的橫坐標(biāo)范圍為:0≤x≤3;

(2)令x=0代入y=-x+2,

y=2,

N(0,2),

y=0代入y=-x+2,

x=6,

M(6,0),

∵點(diǎn)P是半徑為1的⊙C的相鄰點(diǎn),

0PC3PC≠1,

∴點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心,半徑為3的圓內(nèi),且不能在以點(diǎn)P為圓心,半徑為1的圓上,

∵點(diǎn)Cx軸上,

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)范圍的取值范圍:0≤x≤9.

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