Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若存在過(guò)點(diǎn)P的直線l交⊙C于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，在P，A，B三點(diǎn)中，位于中間的點(diǎn)恰為以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，則稱點(diǎn)P為⊙C 的相鄰點(diǎn)，直線l為⊙C關(guān)于點(diǎn)P的相鄰線．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①分別判斷在點(diǎn)D（， ），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相鄰點(diǎn)有　 ；

②請(qǐng)從①中的答案中，任選一個(gè)相鄰點(diǎn)，在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線，并說(shuō)明你的作圖過(guò)程；

③點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離d滿足范圍___________________時(shí)，點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn)；

④點(diǎn)P在直線y=﹣x+3上，若點(diǎn)P為⊙O的相鄰點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點(diǎn)P，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E ② 證明見解析；③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3；(2) 0≤x≤9

【解析】試題分析：（1）由相鄰點(diǎn)的定義可知：在圓C內(nèi)的點(diǎn)必為相鄰點(diǎn)，在圓C外的點(diǎn)必須滿足，2AB2=PC2-1，其中A為PB的中點(diǎn)，且AB≤2，所以若半徑為1的圓C有相鄰點(diǎn)P，則PC的長(zhǎng)必須滿足0≤PC≤3且PC≠1，分別求出D、E、F到⊙O的距離即可判斷．求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，3）和（3，0），根據(jù)（1）問(wèn)中結(jié)論可知，P的橫坐標(biāo)的取值范圍是：0≤x≤3；

（2）根據(jù)（1）問(wèn)中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因?yàn)辄c(diǎn)P在線段MN上移動(dòng)，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，半徑為3的圓內(nèi)，且不能在以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓上，再根據(jù)點(diǎn)C在x軸上，即可得出C的橫坐標(biāo)取值范圍．

試題解析：（1）由定義可知，

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí)，

由垂徑定理可知，點(diǎn)P必為⊙C的相鄰點(diǎn)，

此時(shí)，0≤PC＜1；

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C外時(shí)，設(shè)點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，連接PC交⊙C于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PC交⊙C于點(diǎn)N，連接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴，

∴PAPB=PMPN，

∵點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半徑為1，

∴2AB2=（PC-CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2-1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2-1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵點(diǎn)P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C上時(shí)，

此時(shí)PC=1，但不符合題意，

綜上所述，半徑為1的⊙C，當(dāng)點(diǎn)P與圓心C的距離滿足：0≤PC≤3，且PC≠1時(shí)，點(diǎn)P為⊙C的相鄰點(diǎn)；

①∵D（， ），

∴DO=，

∵E（0，-），

∴OE=，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相鄰點(diǎn)；

②連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于A、B兩點(diǎn)；

③令x=0代入y=-x+3，

∴y=3，

令y=0代入y=-x+3，

∴x=3，

∴y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，3）和（3，0）

∵由于點(diǎn)P在直線y=-x+3上，且點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn)，

∴0≤PO≤3，且PO≠1

又∵點(diǎn)P在⊙O外，

∴1＜PO≤3，

∴p的橫坐標(biāo)范圍為：0≤x≤3；

（2）令x=0代入y=-x+2，

∴y=2，

∴N（0，2），

令y=0代入y=-x+2，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵點(diǎn)P是半徑為1的⊙C的相鄰點(diǎn)，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，半徑為3的圓內(nèi)，且不能在以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓上，

∵點(diǎn)C在x軸上，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)范圍的取值范圍：0≤x≤9．