【題目】如圖,拋物線軸交于點,與軸交于點、,點坐標為

求該拋物線的解析式;

拋物線的頂點為,在軸上找一點,使最小,并求出點的坐標;

是線段上的動點,過點,交于點,連接.當的面積最大時,求點的坐標;

若平行于軸的動直線與該拋物線交于點,與直線交于點,點的坐標為.問:是否存在這樣的直線,使得是等腰三角形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)的坐標為;(3);(4)的坐標為:

【解析】

(1)把A、C兩點坐標代入拋物線解析式可求得a、c的值,可求得拋物線解析;

(2)可求得點C關于x軸的對稱點C′的坐標,連接C′Nx軸于點K,再求得直線C′K的解析式,可求得K點坐標;

(3)過點EEGx軸于點G,設Q(m,0),可表示出AB、BQ,再證明BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出CQE關于m的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得Q點的坐標;

(4)分DO=DF、FO=FDOD=OF三種情況,分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得F點的坐標,進一步求得P點坐標即可.

∵拋物線經(jīng)過點,

,解得,

∴拋物線解析式為;

可求得拋物線頂點為

如圖,作點關于軸的對稱點,連接軸于點,則點即為所求,

設直線的解析式為,

點坐標代入可得,解得

∴直線的解析式為,

,解得,

∴點的坐標為;

設點,過點軸于點,如圖,

,得,

∴點的坐標為,,

又∵,

,

,即,

解得;

又∵,

∴當時,有最大值,此時;

存在.在中,

,,

又在中,

此時,點的坐標為

,得,

此時,點的坐標為:;

,過點軸于點

由等腰三角形的性質(zhì)得:

∴在等腰直角中,

,得,

此時,點的坐標為:

,

,且

∴點的距離為

,與矛盾.

∴在上不存在點使得

此時,不存在這樣的直線,使得是等腰三角形.

綜上所述,存在這樣的直線,使得是等腰三角形.所求點的坐標為:

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