Question

【題目】已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，起對(duì)稱軸是直線．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的外接圓，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的平分線交圓于點(diǎn)，連接、，求的面積；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使得？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)以及圓的相關(guān)性質(zhì)，可知△ＡＢＤ為等腰直角三角形，從而得出與的數(shù)量關(guān)系，列式求解即可；

（3）使得的點(diǎn)存在兩種情況，利用相似導(dǎo)出線段之間的比值，再用直線和拋物線的解析式聯(lián)立求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)，對(duì)稱軸為

∴

將、、代入中

解得

∴拋物線的解析式為：

（2）∵，，

∴，，，

∴

又∵，

∴，

∴，

∴

∴為圓的直徑，點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴

又∵平分，

∴，

∴，為等腰直角三角形．

連接，則，，

∴，點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)與軸交于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴

作軸于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴；

（3）拋物線上存在點(diǎn)，使得．分兩種情況討論：

①過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于．

∵，

∴，

又∵，

∴，直線與拋物線在點(diǎn)右側(cè)的交點(diǎn)即為點(diǎn)．

∵，，

∴，

∴

∵

∴，．

設(shè)直線的解析式為

則有，

解得，

直線的解析式為

∴

解得，（舍）

∴

②過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)．

∵，

∴

即直線與拋物線在點(diǎn)右側(cè)的交點(diǎn)即為點(diǎn)

又∵，

∴

∴

∴

∴

設(shè)直線的解析式為

則有，解得，

∴直線的解析式為

∴，解得，（舍）

∴

∴符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：，．