【題目】已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD

(1) 如圖1,若AB為邊在△ABC外作△ABE,AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,求∠BFC的度數(shù)

(2) 如圖2,∠ABC=α,∠ACD=β,BC=6,BD=8

① 若α=30°,β=60°,AB的長(zhǎng)為

② 若改變?chǔ)、β的大小,但α+β?0°,求△ABC的面積

【答案】 (1) 120°;(2) ; .

【解析】分析:(1)根據(jù)SAS,可首先證明AEC≌△ABD,再利用全等三角形的性質(zhì),可得對(duì)應(yīng)角相等,根據(jù)三角形的外角的定理,可求出∠BFC的度數(shù);

2①如圖2,在ABC外作等邊BAE,連接CE,利用旋轉(zhuǎn)法證明EAC≌△BAD,可證∠EBC=90°,EC=BD=8,因?yàn)?/span>BC=6,在RtBCE中,由勾股定理求BE即可;

②過(guò)點(diǎn)BBEAH,并在BE上取BE=2AH,連接EA,EC.并取BE的中點(diǎn)K,連接AK,仿照(2)利用旋轉(zhuǎn)法證明EAC≌△BAD,求得EC=DB,利用勾股定理即可求解.

本題解析:

(1)如圖1

AE=AB,AD=AC

∵∠EAB=DAC=60,

∴∠EAC=EAB+BAC,DAB=DAC+BAC

∴∠EAC=DAB,

AECABD中,

,

AECABD(SAS)

∴∠AEC=ABD,

∵∠BFC=BEF+EBF=AEB+ABE

∴∠BFC=AEB+ABE=120;

(2)①如圖2,以AB為邊在ABC外作正三角形ABE,連接CE.

(1)可知EACBAD.

EC=BD.

EC=BD=8,

∵∠BAE=60,ABC=30,

∴∠EBC=90.

RtEBC中,EC=8,BC=6

EB=,

AB=BE=.

②如圖2,AHBCBCH,過(guò)點(diǎn)BBEAH,并在BE上取BE=2AH,連接EA,EC.并取BE的中點(diǎn)K,連接AK.

AHBCH,

∴∠AHC=90°.

BEAH,

∴∠EBC=90°.

∵∠EBC=90°,BE=2AH,

EC2=EB +BC =4AH +BC.

KBE的中點(diǎn),BE=2AH,

BK=AH.

BKAH,

∴四邊形AKBH為平行四邊形。

又∵∠EBC=90°,

∴四邊形AKBH為矩形.ABE=ACD

∴∠AKB=90.

AKBE的垂直平分線。

AB=AE.

AB=AE,AC=AD,ABE=ACD,

∴∠EAB=DAC,

∴∠EAB+EAD=DAC+EAD,

即∠EAC=BAD,

EACBAD中,

,

EACBAD.

EC=BD=8.

RtBCE,BE=,

AH=BE=,

SABC=BCAH=3.

故答案為:2.

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同種操作,如圖3,S陰影31()2()3__________;

如圖4S陰影41()2()3()4___________;

……

若同種地操作n次,則S陰影n1()2()3-…-()n_________.

(規(guī)律歸納)

(2)直接寫(xiě)出+…+的化簡(jiǎn)結(jié)果:_________.

(規(guī)律應(yīng)用)

(3)直接寫(xiě)出算式+…+的值:__________.

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