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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx經過點A(﹣3,4),直線l與x軸相交于點B,與AOB的平分線相交于點C,直線l的解析式為y=kx﹣5k(k0),BC=OB.

(1)若點C在此拋物線上,求拋物線的解析式;

(2)在(1)的條件下,過點A作y軸的平行線,與直線l相交于點D,設P為拋物線上的一個動點,連接PA、PD,當時,求點P的坐標.

【答案】(1)y=x2+x;(2)(﹣1,0)或(﹣5,

【解析】

試題分析:(1)如圖,先求出B點坐標,則可得到OA=OB=5,再證明AOCB,加上OB=BC=5,則可判斷四邊形AOBC為平行四邊形,所以ACOB,AC=OB=5,于是得到C(2,4),然后利用待定系數法求拋物線解析式;

(2)如圖,先確定直線l的解析式為y=﹣x+,再確定D點坐標,則可求出AD的長,設P(t,t2+t),利用三角形面積公式和得到|t+3|=54,然后解絕對值方程求出t的值,從而可確定點P的坐標.

試題解析:(1)如圖,A(﹣3,4),

OA==5,

當y=0時,kx﹣5k=0,解得x=5,則B(5,0),

BC=BO=5,

∴∠BOC=BCO,

OC平分AOB,

∴∠AOC=BOC,

∴∠AOC=BCO,

AOCB,

而OA=BC=5,

四邊形AOBC為平行四邊形,

ACOB,AC=OB=5,

C(2,4),

把A(﹣3,4),C(2,4)代入y=ax2+bx得,

解得a=,b=,

拋物線的解析式為y=x2+x;

(2)如圖,把C(2,4)代入y=kx﹣5k得2k﹣5k=4,解得k=﹣,

直線l的解析式為y=﹣x+

當x=﹣2時,y=﹣x+=,則D(﹣3,),

AD=﹣4=,

設P(t,t2+t),

|t+3|=54,解得t=﹣1或t=﹣5,

點P的坐標為(﹣1,0)或(﹣5,).

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