【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A3,0)、B0,﹣3),點P是直線AB上的動點,過點Px軸的垂線交拋物線于點M,設點P的橫坐標為t

1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.

2)若點P在第四象限,連接AMBM,當線段PM最長時,求ABM的面積.

3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點P的橫坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1)拋物線的解析式是y=,直線AB的解析式是y=x-3

2;

3存在,P點的橫坐標是;

【解析】試題分析:(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式:把A3,0B0,﹣3)分別代入,得到關于mn的兩個方程組,解方程組即可;

2)設點P的坐標是(, ),則M, ),用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長,即PM==,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

時,PM最長為,再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計算即可;

3)由PMOB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時,點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,然后討論:當P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時只有,所以不可能;當P在第一象限:PM=OB=3,( =3;當P在第三象限:PM=OB=3, ,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.

試題解析:(1)把A3,0B0﹣3)代入,得: ,解得

所以拋物線的解析式是

設直線AB的解析式是,

A3,0B0,﹣3)代入,得: ,解得:

所以直線AB的解析式是;

2)設點P的坐標是(, ),則M, ),因為p在第四象限,

所以PM==,

時,二次函數(shù)的最大值,即PM最長值為,

SABM=SBPM+SAPM=;

3)存在,理由如下:∵PM∥OB

PM=OB時,點P、M、BO為頂點的四邊形為平行四邊形,

P在第四象限:PM=OB=3PM最長時只有,所以不可能有PM=3

P在第一象限:PM=OB=3,( =3,解得, (舍去),所以P點的橫坐標是;

P在第三象限:PM=OB=3, ,解得(舍去),,所以P點的橫坐標是.所以P點的橫坐標是

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