【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CDABH,點(diǎn)G是⊙O上一點(diǎn),AGCD于點(diǎn)K,延長KD至點(diǎn)E,使KE=GE,分別延長EG、AB相交于點(diǎn)F.

(1)求證:EF是⊙O的切線;

(2)若ACEF,試探究KG、KD、GE之間的關(guān)系,并說明理由;

(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=2,求FG的長.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

(1)連接OG,首先證明∠EGK=∠EKG,再證明∠HAK+∠KGE=90°,進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF,進(jìn)而證明EF是⊙O的切線;
(2)連接GD,由平行線的性質(zhì)得到相等的角,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得證;

(3)連接OG,OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠ACH,然后根據(jù)已知的sinE=設(shè)出AH=3t,AC=5t,CH=4t,然后根據(jù)勾股定理求出CH、AH的長,設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,求出r的值,再由OG的長和tan∠OFG=tan∠CAH,利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計算出FG的長.

證明:(1)如圖1,連接OG.

∵KE=EG,

∴∠EKG=∠EGK,

∵∠AKH=∠EKG,

∴∠EGK=∠AKH,

∴OA=OG,

∴∠OGA=∠OAK,

∵AB⊥CD,

∴∠AHK=90°,

∴∠AKH+∠OAG=90°,

∴∠OGA+∠EGK=90°,

∴∠OGE=90°,

∴EF⊙O的切線;

(2)KG2=KDGE,理由是:

連接GD,如圖2,

∵AC∥EF,

∴∠C=∠E,

∵∠C=∠AGD,

∴∠E=∠AGD,

∵∠GKD=∠GKD,

∴△GKD∽△EKG,

,

∴KG2=KDEK,

由(1)得:EK=GE,

∴KG2=KDGE;

(3)連接OG,OC,如圖3所示,

∵AC∥EF,

∴∠E=∠ACH,

∵sinE=sin∠ACH=,

設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,

∵KE=GE,AC∥EF,

∴CK=AC=5t,

∴HK=CK﹣CH=t.

Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2

即(3t)2+t2=(22,解得t=±

∴CH=4,AH=3,

設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3,

由勾股定理得:OH2+CH2=OC2

即(r﹣32+(42=r2,解得r=

∵EF為切線,

∴△OGF為直角三角形,

Rt△OGF中,OG=,tan∠OFG=tan∠CAH===,

∴FG==

練習(xí)冊系列答案
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1接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計圖中基本了解部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_______°;

2請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

3若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學(xué)學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到了解基本了解程度的總?cè)藬?shù);

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