【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AB是⊙O的直徑,BC與⊙O交于點D,點E在AC上,且∠ADE=∠B.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,CE=2,求△ABC的面積.
【答案】(1)見解析;(2)S△ABC =40.
【解析】
(1)連接OD,證明OD⊥DE即可.因為AB是⊙O的直徑,所以∠ADB=90°,因此∠B+∠BAD=90°.因為AO=DO,所以∠BAD=∠ADO.因為∠ADE=∠B,所以∠ADO+∠ADE=90°,即∠ODE=90°.可證DE是⊙O的切線;
(2)由AB=AC,∠ADB=90°可得點D是BC的中點,所以△ABC的面積是△ADC面積的2倍.因為點O是AB的中點,點D是BC的中點,可得AC=2DO=10,∠AED=180°-∠ODE=90°.因為CE=2,所以AE=8,根據(jù)射影定理DE2=AECE,所以DE=4,所以S△ABC=2S△ADC=2×(×ACDE)=40.
(1)連接OD,
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵AO=DO,
∴∠BAD=∠ADO,
∵∠ADE=∠B,
∴∠ADO+∠ADE=∠BAD+∠B=90°,
即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線;
(2)由(1)知,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD是△ABC的中線,
∴點D是BC的中點,
又∵OB=OA,
∴DO是△ABC的中位線,
∵⊙O的半徑為5,
∴AC=2DO=10,
∵CE=2,
∴AE=AC-CE=8,
∵DO是△ABC的中位線,
∴DO∥AC,
∴∠EDO+∠AED=180°,
∴∠AED=90°,
∴∠AED=∠DEC=90°,
∴∠EDC+∠C=90°,
∵ADC=180°-∠ADB=90°,
∴∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠C,
∵∠AED=∠DEC,∠ADE=∠C,
∴△AED~△DEC,
∴即,
∴DE=4,
∴S△ADC=ACDE=20,
∵AD是△ABC的中線,
∴S△ABC=2S△ADC=40.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了了解九年級學生寒假的閱讀情況,隨機抽取了該年級的部分學生進行調(diào)查,統(tǒng)計了他們每人的閱讀本數(shù),設每名學生的閱讀本數(shù)為n,并按以下規(guī)定分為四檔:當n<3時,為“偏少”;當3≤n<5時,為“一般”;當5≤n<8時,為“良好”;當n≥8時,為“優(yōu)秀”.將調(diào)查結果統(tǒng)計后繪制成不完整的統(tǒng)計圖表:
閱讀本數(shù)n(本) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人數(shù)(名) | 1 | 2 | 6 | 7 | 12 | x | 7 | y | 1 |
請根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)分別求出統(tǒng)計表中的x,y的值;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”類所在扇形的圓心角的度數(shù);
(3)如果隨機去掉一個數(shù)據(jù),求眾數(shù)發(fā)生變化的概率,并指出眾數(shù)變化時,去掉的是哪個數(shù)據(jù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】重慶某中學組織七、八、九年級學生參加“直轄20年,點贊新重慶”作文比賽,該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計,繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是 度,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)經(jīng)過評審,全校有4篇作文榮獲特等獎,其中有一篇來自七年級,學校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校刊上,請利用畫樹狀圖或列表的方法求出七年級特等獎作文被選登在校刊上的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當△BDC的面積最大時,求點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們把順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形,下列說法正確的是
A. 任意一個四邊形的中點四邊形是菱形
B. 任意一個平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形
C. 對角線相等的四邊形的中點四邊形是矩形
D. 對角線垂直的四邊形的中點四邊形是正方形
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“湊夠一撥人就走,管它紅燈綠燈。”曾經(jīng)有一段時間,“中國式過馬路”現(xiàn)象引起社會廣泛關注和熱議.交通安全與我們的生活息息相關,“珍惜生命,文明出行”是每個公民應遵守的規(guī)則.某市為了了解市民對“闖紅燈”的認識,隨機調(diào)查了部分市民,并根據(jù)調(diào)查結果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.(每位市民僅持一種觀點)
調(diào)查結果統(tǒng)計表
觀點 | 頻數(shù) |
A. 看到車少可以闖紅燈 | 90 |
B. 無論什么時候都不能闖紅燈 | |
C. 因為車讓行人,行人可以闖紅燈 | 60 |
D. 湊夠一撥人,大家一起過馬路時可以闖紅燈 |
根據(jù)以上統(tǒng)計圖表,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的市民共有_______人;_______,_______;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形的圓心角度數(shù)是_______;
(3)若該市約有120萬人,請估計“看到車少可以闖紅燈”和“因為車讓行人,行人可以闖紅燈”觀點的人數(shù)大約共有多少.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,且OA=OB,CA=CB.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若∠A=30°,AC=6,求⊙O的周長;
(3)在(2)的條件下,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務:
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務:
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB于點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線MN是線段BC的垂直平分線,垂足為O,P為射線OM上的一點,連接BP,PC.將線段PB繞點P逆時針旋轉,得到線段PQ(PQ與PC不重合),旋轉角為α(0°<α<180°)直線CQ交MN與點D.
(1)如圖1,當α=30°,且點P與點O重合時,∠CDM的度數(shù)是 ;
(2)如圖2,且點P與點O不重合.
①當α=120°時,求∠CDM的度數(shù);
②用含α的代數(shù)式表示∠CDM的度數(shù).
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