【題目】(1)(問題發(fā)現(xiàn))
如圖1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,延長CA到點F,使得AF=AC,連接DF、BE,則線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系為 ,位置關(guān)系為 ;
(2)(拓展研究)
將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),(1)中的結(jié)論有無變化?僅就圖(2)的情形給出證明;
(3)(解決問題)
當AB=2,AD=,△ADE旋轉(zhuǎn)得到D,E,F三點共線時,直接寫出線段DF的長.
【答案】(1)DF=BE,DF⊥BE;(2)詳見解析;(3)DF=+1或﹣1
【解析】
(1)通過證明△ABE≌△AFD,可得DF=BE,DF⊥BE;
(2)通過證明△ADF≌△AEB,可得DF=BE,DF⊥BE;
(3)分點D在AB左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求FH的長,即可求DF的長.
(1)延長FD交BE于點M
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE,AB=AC,∠BAC=90°=∠FAD
∵AF=AC
∴AF=AB,且AD=AE,∠BAE=∠DAF=90°
∴△ABE≌△AFD(SAS)
∴FD=BE,∠F=∠ABE,
∵∠ABE+∠AEB=90°
∴∠F+∠AEB=90°
∴∠FME=90°
∴FD⊥BE
故答案為:DF=BE,DF⊥BE
【拓展研究】
(2)
∵∠BAC=90°=∠EAD
∴∠DAF=∠EAB=90°+∠EAF
在△ADF 和△AEB 中
∴△ADF≌△AEB
DF=BE,∠F=∠EBA
設 CF 和 BE 相交于點 H,則∠EHF=∠CHB
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠EBA+∠CHB=90°
∴∠F+∠EHF=90°
∴DF⊥BE
(3)當點D在AB的左側(cè),
如圖,過點A作AH⊥EF于點H,
∵△ADE是等腰直角三角形,AD=AE=,AH⊥EF
∴DE=2,AH=DH=DE=1
∵FH==
∴FD=FH﹣DH=﹣1
當點D在AB右側(cè),
如圖,過點A作AH⊥EF于點H,
同理可求:FH=
∴FD=FH+HD=+1
綜上所述:DF=+1或﹣1
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,蘭州市開展了以“精致蘭州志愿同行”為主題的系列志愿服務活動.金老師和程老師積極參加志愿者活動,當時有下列四個志愿者工作崗位供他們選擇:
①“送溫暖”活動崗位:為困難家庭打掃衛(wèi)生,為留守兒童提供學業(yè)輔導;(分別用,表示)
②“送平安”活動崗位:消防安全常識宣傳,人員密集場所維護秩序.(分別用,表示)
(1)金老師從四個崗位中隨機選取一個報名,恰好選擇“送溫暖”活動崗位的概率是多少?
(2)若金老師和程老師各隨機從四個活動崗位中選一個報名,請用樹狀圖或列表法求出他們恰好都選擇同一個崗位的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某旅行社的一則廣告如下:
甲公司想分批組織員工到延安紅色旅游學習.
(1)如果第一批組織40人去學習,則公司應向旅行社交費 元;
(2)如果公司計劃用29250元組織第一批員工去學習,問這次旅游學習應安排多少人參加?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果,則稱P1與P2互為“d-距點”.例如:點P1(3,6),點P2(1,7),由d=|3-1|+|6-7|=3,可得點P1與P2互為“3-距點”.
(1)在點D(-2,-2),E(5,-1),F(0,4)中,原點O的“4-距點"是____(填字母);
(2)已知點A(2,1),點B(0,b),過點B作平行于x軸的直線l.
①當b=3時,直線l上點A的“2-距點"的坐標為_______;
②若直線l上存在點A的2-距點”,求b的取值范圍:
(3)已知點M(1,2),N(3,2),C(m,0),⊙C的半徑為,若在線段MN上存在點P,在⊙C上存在點Q,使得點P與點Q互為“5-距點",直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解七年級學生身體發(fā)育狀況,學校抽取一部分學生測量身高(單位:m),繪制處如下的統(tǒng)計圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)圖①中a的值為 ;
(2)求統(tǒng)計的這組學生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)如果全校七年級學生有300人,那么估計身高大于1.65m的學生大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.已知和的頂點都在格點上,線段的中點為.
(1)以點為旋轉(zhuǎn)中心,分別畫出把順時針旋轉(zhuǎn),后的,;
(2)利用(1)變換后所形成的圖案,解答下列問題:
①直接寫出四邊形,四邊形的形狀;
②直接寫出的值;
③設的三邊,,,請證明勾股定理.
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【題目】對垃圾進行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護環(huán)境.為了檢查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機抽查的方式分別對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,D四個小區(qū)進行檢查,并且每個小區(qū)不重復檢查.
(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是多少;
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市青少年宮準備在七月一日組織市區(qū)部分學校的中小學生到本市A,B,C,D,E五個紅色旅游景區(qū)“一日游”,每名學生只能在五個景區(qū)中任選一個.為估算到各景區(qū)旅游的人數(shù),青少年宮隨機抽取這些學校的部分學生,進行了“五個紅色景區(qū),你最想去哪里”的問卷調(diào)查,在統(tǒng)計了所有的調(diào)查問卷后將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖.
(1)求參加問卷調(diào)查的學生數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若參加“一日游”的學生為1000人,請估計到C景區(qū)旅游的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=x+4與拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c是常數(shù))交于A、B兩點,點A在x軸上,點B在y軸上.設拋物線與x軸的另一個交點為點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點(不與點A、B重合),
①如圖2,若點P在直線AB上方,連接OP交AB于點D,求的最大值;
②如圖3,若點P在x軸的上方,連接PC,以PC為邊作正方形CPEF,隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點E或F恰好落在y軸上,直接寫出對應的點P的坐標.
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