Question

8．如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為P，連接PA，PB，那么稱△PAB為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）請寫出“拋物線三角形”是等腰直角三角形時，拋物線的表達(dá)式（寫出一個即可）y=-x²+1；
（2）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等邊三角形，求b的值；
（3）若△PAB是拋物線y=-x²+c的“拋物線三角形”，是否存在以點(diǎn)A為對稱中心的矩形PBCD？若存在，求出過O，C，D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）取A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三點(diǎn)，求出過A、B、C三點(diǎn)的拋物線即可．
（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，△PAB是等邊三角形，根據(jù)PH=$\sqrt{3}$AH，列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中，作△ACD與△APB關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，則四邊形PBCD為平行四邊形，當(dāng)PC=BD時，平行四邊形PBCD為矩形，即PA=AB，推出△APB為等邊三角形，由此求出D、C坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）答案不唯一，當(dāng)A（-1，0），B（1，0），C（0，1）時，△ABC是等腰直角三角形，此時經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為y=-x²+1，
故答案為y=-x²+1．
（2）∵拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等邊直角三角形，
又∵該拋物線的頂點(diǎn)（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{4}$），
如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，
∵△PAB是等邊三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$AH，
∴$\frac{^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．
（3）如圖2中，作△ACD與△APB關(guān)于點(diǎn)A中心對稱，則四邊形PBCD為平行四邊形，
當(dāng)PC=BD時，平行四邊形PBCD為矩形，
即PA=AB，
∴△APB為等邊三角形，
由（2）作法可知，P（0，3），
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），
由中心對稱圖形的性質(zhì)可知，D（-3$\sqrt{3}$，0），C（-2$\sqrt{3}$，-3），
設(shè)過O、C、D三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx，
則$\left\{\begin{array}{l}{27a-3\sqrt{3}b=0}\\{12a-2\sqrt{3}b=-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴O，C，D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式等知識，解題的關(guān)鍵是充分利用等邊三角形性質(zhì)，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．