Question

20．如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交線段EO于點(diǎn)F，若AB=BF．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若CF=4，DF=$\sqrt{10}$，求⊙O的半徑r及sinB．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，則OA⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線；
（2）先表示出OF=4-r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（4-r）²=（$\sqrt{10}$）²，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1．
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB²+OA²=OB²，即AB²+3²=（AB+1）²，解方程得到AB=4的值，再根據(jù)三角函數(shù)定義求出sinB．

解答 （1）證明：連接OA、OD，如圖，
∵點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切線；

（2）解：OF=CF-OC=4-r，OD=r，DF=$\sqrt{10}$，
在Rt△DOF中，OD²+OF²=DF²，即r²+（4-r）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得r₁=3，r₂=1（舍去）；
∴半徑r=3，
∴OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1．
在Rt△AOB中，AB²+OA²=OB²，
∴AB²+3²=（AB+1）²，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義．