Question

19．如圖，矩形ABCD中，對角線AC的中點為O，過O作EF⊥AC，分別交AB、DC于E、F，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連接EC，設(shè)AE=EC=x，在RT△ECB中，求出EC，再在RT△ECO中求出EO，再利用全等三角形證明OE=OF即可解決問題．

解答 解：連接EC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，∵AB=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AO=OC，EF⊥AC，
∴EA=EC，設(shè)EA=EC=x，在RT△ECB中，∵EC²=EB²+BC²，
∴x²=2²+（4-x）²，
∴x=2.5，
在RT△EOC中，OE=$\sqrt{E{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠OAE}\\{OC=OA}\\{∠FOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OAE，
∴OF=OE，
∴EF=2OE=$\sqrt{5}$，
故答案為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出EC的長，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．