Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，且滿足式子.

（1）求出的值；

（2）①在軸的正半軸上存在一點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在坐標(biāo)軸的其它位置是否存在點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半仍然成立，若存在，直接寫出其他符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，平分，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：

Answer 1

【答案】（1）m=-2，n=4；（2）①M的坐標(biāo)為（3，0）；②（-3，0）或（0，6）或（0，-6）； （3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
②分點(diǎn)M在x、y軸上兩種情況計(jì)算；
（3）根據(jù)角平分線的定義、垂直的定義得到∠POF=∠BOF，設(shè)∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，結(jié)合圖形得到x=y，得到答案．

解：（1）由題意得，，

解得m=-2，n=4；

（2）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（x，0），

△ABC的面積= ×6×2=6，

由題意得，×x×2=×6，

解得，x=3，

△COM的面積等于△ABC的面積的一半時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）；

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，由①得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0），
當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（0，y），
由題意得，×|y|×1=×6，
解得，y=±6，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的其他坐標(biāo)為（-3，0）或（0，6）或（0，-6）；

（3）∵OE平分∠AOP，
∴∠EOP=∠AOE，
∵OF⊥OE，
∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠POF=∠BOF，
設(shè)∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，
∵CD⊥y軸，
∴CD∥x軸，
∴∠OPD=∠POB=2x，
則∠POD=90°-2x，
∵∠EOF=90°，
∴y+90°-2x+x=90°，
解得，x=y，
∴∠OPD=2∠DOE.