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【題目】如圖1,正方形ABCD中,點O是對角線AC的中點,點P是線段AO上(不與點AO重合)的一個動點,過點PPEPBPE交邊CD于點E

1)求證:PEPB

2)如圖2,若正方形ABCD的邊長為2,過點EEFAC于點F,在點P運動的過程中,PF的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個不變的值;若變化,請說明理由;

3)用等式表示線段PC,PA,CE之間的數量關系.

【答案】1)見解析;(2)在P點運動的過程中,PF的長度不發(fā)生變化.PF的長為定值;(3.理由見解析.

【解析】

1)做輔助線,構建全等三角形,根據ASA證明即可求解.

2)如圖,連接OB,通過證明,得到PF=OB,則PF為定值是

3)根據△AMP△PCN是等腰直角三角形,得,整理可得結論.

1)證明:如圖,過點PMNAD,交AB于點M,交CD于點N

PBPE

∴∠BPE90°,

∴∠MPB+EPN90°.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=∠D90°.

ADMN,

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D90,

∵∠MPB+MBP90°,

∴∠EPN=∠MBP

RtPNC中,∠PCN45°,

∴△PNC是等腰直角三角形,

PNCN

BMCNPN

∴△BMP≌△PNEASA),

PBPE

2)解:在P點運動的過程中,PF的長度不發(fā)生變化.

理由:如圖2,連接OB

∵點O是正方形ABCD對角線AC的中點,

OBAC

∴∠AOB90°,

∴∠AOB=∠EFP90°,

∴∠OBP+BPO90°.

∴∠BPE90°,

∴∠BPO+OPE90°,

∴∠OBP=∠OPE

由(1)得PBPE,

∴△OBP≌△FPEAAS),

PFOB

AB2,△ABO是等腰直角三角形,∴

PF的長為定值

3)解:

理由:如圖1,∵∠BAC45°,

∴△AMP是等腰直角三角形,

由(1)知PMNE,

∵△PCN是等腰直角三角形,

練習冊系列答案
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【題目】某校為了慶祝建國七十周年,決定舉辦一臺文藝晚會,為了了解學生最喜愛的節(jié)目形式,隨機抽取了部分學生進行調查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈小品,相聲其它五個選項中選擇一個,并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據圖中信息,解答下列題:

最喜愛的節(jié)目

人數

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調查中,該校一共調查了   名學生;

2a   ;b   ;

3)在扇形計圖中,計算歌曲所在扇形的圓心角的度數;

4)若該校共有1200名學生,請你估計最喜愛相聲的學生的人數.

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【題目】中,,以為直徑的于點,交于點,延長線上一點,且,連接

1)求證:的切線;

2)若,,求的長.

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1)此次抽樣調查中,共調查了__________名初中學生;

2)求出圖2中扇形C所對的圓心角的度數,并將圖1補充完整;

3)根據抽樣調查結果,請你估計該城區(qū)1000名初中學生中有多少人的感受是教師敬業(yè)辛苦?

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,ABDC,∠ABC90°,AB4CD1,BC4.在邊BC上取一點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與以CD、P為頂點的三角形相似,甲認為這樣的點P只存在1個,乙認為這樣的點P存在不止1個,則( 。

A.甲的說法正確B.乙的說法正確

C.甲、乙的說法都正確D.甲、乙的說法都不正確

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上,頂點的坐標為.點是邊上的一個動點(不與、重合),反比例函數 的圖象經過點且與邊交于點,連接

1)當點是邊的中點時,求反比例函數的表達式

2)在點的運動過程中,試證明:是一個定值.

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(1)求證:AC平分∠DAE;

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