【題目】如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AO上(不與點(diǎn)A,O重合)的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥PB且PE交邊CD于點(diǎn)E.
(1)求證:PE=PB;
(2)如圖2,若正方形ABCD的邊長為2,過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F,在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,PF的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個不變的值;若變化,請說明理由;
(3)用等式表示線段PC,PA,CE之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)見解析;(2)在P點(diǎn)運(yùn)動的過程中,PF的長度不發(fā)生變化.PF的長為定值;(3)
.理由見解析.
【解析】
(1)做輔助線,構(gòu)建全等三角形,根據(jù)ASA證明即可求解.
(2)如圖,連接OB,通過證明,得到PF=OB,則PF為定值是
.
(3)根據(jù)△AMP和△PCN是等腰直角三角形,得,
,整理可得結(jié)論.
(1)證明:如圖①,過點(diǎn)P作MN∥AD,交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N.
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°,
∴∠MPB+∠EPN=90°.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=90°.
∵AD∥MN,
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90,
∵∠MPB+∠MBP=90°,
∴∠EPN=∠MBP.
在Rt△PNC中,∠PCN=45°,
∴△PNC是等腰直角三角形,
∴PN=CN,
∴BM=CN=PN,
∴△BMP≌△PNE(ASA),
∴PB=PE.
(2)解:在P點(diǎn)運(yùn)動的過程中,PF的長度不發(fā)生變化.
理由:如圖2,連接OB.
∵點(diǎn)O是正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn),
∴OB⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∴∠AOB=∠EFP=90°,
∴∠OBP+∠BPO=90°.
∴∠BPE=90°,
∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE.
由(1)得PB=PE,
∴△OBP≌△FPE(AAS),
∴PF=OB.
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,∴.
∴PF的長為定值.
(3)解:.
理由:如圖1,∵∠BAC=45°,
∴△AMP是等腰直角三角形,
∴.
由(1)知PM=NE,
∴.
∵△PCN是等腰直角三角形,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了慶祝建國七十周年,決定舉辦一臺文藝晚會,為了了解學(xué)生最喜愛的節(jié)目形式,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從“歌曲”,“舞蹈”,“小品”,“相聲”和“其它”五個選項中選擇一個,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖中信息,解答下列題:
最喜愛的節(jié)目 | 人數(shù) |
歌曲 | 15 |
舞蹈 | a |
小品 | 12 |
相聲 | 10 |
其它 | b |
(1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)a= ;b= ;
(3)在扇形計圖中,計算“歌曲”所在扇形的圓心角的度數(shù);
(4)若該校共有1200名學(xué)生,請你估計最喜愛“相聲”的學(xué)生的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,
,以
為直徑的
交
于點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
,
為
延長線上一點(diǎn),且
,連接
.
(1)求證:是
的切線;
(2)若,
,求
的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地為了了解2020年在疫情中上網(wǎng)課的感受,組織教師通過問卷和座談等形式,隨機(jī)抽取某城區(qū)一些初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查的普遍感受分為四大類:A.提高自律能力;B.戰(zhàn)親子關(guān)系;C.提升信息素養(yǎng);D.教師敬業(yè)辛苦,并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了__________名初中學(xué)生;
(2)求出圖2中扇形C所對的圓心角的度數(shù),并將圖1補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計該城區(qū)1000名初中學(xué)生中有多少人的感受是“教師敬業(yè)辛苦”?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=4,CD=1,BC=4.在邊BC上取一點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似,甲認(rèn)為這樣的點(diǎn)P只存在1個,乙認(rèn)為這樣的點(diǎn)P存在不止1個,則( 。
A.甲的說法正確B.乙的說法正確
C.甲、乙的說法都正確D.甲、乙的說法都不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)
、
分別在
、
軸的正半軸上,頂點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.點(diǎn)
是邊
上的一個動點(diǎn)(不與
、
重合),反比例函數(shù)
的圖象經(jīng)過點(diǎn)
且與邊
交于點(diǎn)
,連接
.
(1)當(dāng)點(diǎn)是邊
的中點(diǎn)時,求反比例函數(shù)的表達(dá)式
(2)在點(diǎn)的運(yùn)動過程中,試證明:
是一個定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)E,AD⊥EC交EC的延長線于點(diǎn)D,AD交⊙O于F,F(xiàn)M⊥AB于H,分別交⊙O、AC于M、N,連接MB,BC.
(1)求證:AC平分∠DAE;
(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半徑;②求FN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有甲、乙兩棟建筑物,小明于乙樓樓頂A點(diǎn)處看甲樓樓底D點(diǎn)處的俯角為37°,走到乙樓B點(diǎn)處看甲樓樓頂E點(diǎn)處的俯角為53°,已知AB=6m,DE=10m.求乙樓的高度AC的長.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,精確到0.1m)
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