【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P是第一象限角平分線上的一點(diǎn),OP=,直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合,把直角三角板繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng),另兩條直角邊所在直線與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,0),試判斷m、n有什么數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由
(3)連接AB,△ABO的面積是否存在最大值,若存在,求出最大值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
【答案】(1)(1,1);(2)m+n=2;(3)
【解析】
(1)過(guò)P點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線PE垂直于x軸PF垂直于y軸,然后利用勾股定理;
(2)證明△PBE≌△PFA,然后直接得出m+n的值;
(3)由(2)可知四邊形AOBP的面積是定值,然后根據(jù)四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積可知當(dāng)△ABP的面積最小時(shí),△ABO的面積能取到最大值.
解:(1)過(guò)P點(diǎn)作過(guò)P作PE⊥x軸,PF⊥y軸,
∵P是第一象限角平分線上的一點(diǎn)
∴PE=PF ,∠POE=45°,
∴OE=PE
在Rt△PEO中,
則2=2
∴PE=1
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)
(2)由(1)可知PE⊥x軸,PF⊥y軸
∴PE⊥PF,
∴∠APE+∠APF=90°,
又∵∠APE+∠BPE=90°,
∴∠APF=∠BPE,
∵PE=PF,∠PFA=∠PEB=90°,
∴△APF≌△BPE,
∴AF=BF
則AO+OB=AO+OE+EB=AO+OE+FA=2OE=2
∴m+n=2
(3)△ABO的面積存在最大值為.理由如下:
由(2)可知△APF≌△BPE,
∴四邊形AOBP的面積=四邊形OEPF的面積=1,是定值,
又∵四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積,
由(2)可知△ABP是等腰直角三角形,面積=,
∴當(dāng)AP取最小值為1時(shí),△ABP面積有最小值為,此時(shí)△ABO的面積為最大等于.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,以點(diǎn)A為圓心,小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn);再分別以E、F為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP,交CD于點(diǎn)M.若∠CMA=25°,則∠C的度數(shù)為( 。
A.100°B.110°C.120°D.130°
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【題目】一條拋物線的開(kāi)口大小與方向、對(duì)稱(chēng)軸均與拋物線y=x2相同,并且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1).
(1)求拋物線的解析式,并指明其頂點(diǎn);
(2)所求拋物線如何由拋物線y=x2平移得到?
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【題目】如圖,在半⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),CE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AD,分別交CE,CB于點(diǎn)P,Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④AC2=CQCB,其中結(jié)論正確的是____.
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【題目】小明調(diào)查了班級(jí)里20位同學(xué)本學(xué)期購(gòu)買(mǎi)課外書(shū)的花費(fèi)情況,并將結(jié)果繪制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖.在這20位同學(xué)中,本學(xué)期購(gòu)買(mǎi)課外書(shū)的花費(fèi)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A. 50,50 B. 50,30 C. 80,50 D. 30,50
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【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,東營(yíng)市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)______°;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑的畫(huà)弧,分別交BA,BC于點(diǎn)M、N;再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中不正確的是()
A. BP是∠ABC的平分線B. AD=BDC. D. CD=BD
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【題目】已知m,n(m<n)是關(guān)于x的方程(x–a)(x–b)=2的兩根,若a<b,則下列判斷正確的是
A. a<m<b<n B. m<a<n<b
C. a<m<n<d D. m<a<b<n
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