Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標；

（3）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）H（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接確定出拋物線解析式；

（2）先求出直線BC的解析式，進而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出；

（3）利用對稱性找出點P，Q的位置，進而求出P，Q的坐標．

（1）∵點A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴拋物線的表達式為y＝x2﹣4x﹣5，

（2）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點E的縱坐標為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，

∴x＝0（舍）或x＝4，

∴E（4，﹣5），

∴CE＝4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF＝CEHF＝﹣2（t﹣）2+，

∴H（，﹣）；

（3）如圖2，

∵K為拋物線的頂點，

∴K（2，﹣9），

∴K關(guān)于y軸的對稱點K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴M（4，﹣5），

∴點M關(guān)于x軸的對稱點M'（4，5），

∴直線K'M'的解析式為y＝，

∴P（，0），Q（0，﹣）．