Question

【題目】如圖1，將一個正三角形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn) 45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)______，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長為，則所得正八邊形的面積為_______．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長為x，則正八邊形的邊長為x；然后根據(jù)x+x+x=4求得x；最后用正方形的面積減去這八個等腰直角三角形的面積即可．

解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；則將一個正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；

由題意得：旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，

設(shè)等腰直角三角形的邊長為x，則正八邊形的邊長為x

∴x+x+x=4，解得x=4-2

∴減去的每個等腰直角三角形的面積為：

∴正八邊形的面積為：正方形的面積-4×等腰直角三角形的面積

=4×4-4（）

=．

故答案為，．