Question

6．如圖，已知AM∥BN．C為直線BN上一點(diǎn)，且∠MAC=70°，∠ABC=80°．點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AM方向運(yùn)動(dòng)，∠PAC與∠PBC的角平分線相交于點(diǎn)D．
探究一：①當(dāng)∠ABP=20°時(shí)，求角ADB的度數(shù)；
聰明的小華看到這一問題，采用了如下解題方法：如圖2，過點(diǎn)D作DE∥AM，于是，他很快就得到了正確答案，即∠ADB=65°．
探究二：設(shè)∠ABP=α，∠ADB=β，試探究：
①若β不小于α，求α的取值范圍；
②若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否會(huì)出現(xiàn)α與β互補(bǔ)的情況？若會(huì)，請(qǐng)求出α與β的值；若不會(huì)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 探究一：①如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，由角平分線的定義得到$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-20°）=30°，等量代換得到結(jié)論；
探究二：①如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，由角平分線的定義得到$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-α）=40°-$\frac{1}{2}α$，等量代換得到∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=75°-$\frac{1}{2}α$=β，根據(jù)已知條件列不等式即可得到結(jié)論；
②根據(jù)①的結(jié)論列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：探究一：①如圖2，∵AM∥BN，DE∥AM，
∴BN∥DE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAC與∠PBC的角平分線相交于點(diǎn)D，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-20°）=30°，
∴∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=65°，
故答案為：65°；

探究二：①如圖2，∵AM∥BN，DE∥AM，
∴BN∥DE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAC與∠PBC的角平分線相交于點(diǎn)D，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PAC$=35°，∠3=$\frac{1}{2}$∠PBC=$\frac{1}{2}$（80°-α）=40°-$\frac{1}{2}α$，
∴∠ADB=∠2+∠4=∠1+∠3=75°-$\frac{1}{2}α$=β，
∵β≥α，
∴75°-$\frac{1}{2}α$≥α，
∴0＜α≤50，
∴α的取值范圍是：0＜α≤50．
②不會(huì)，
理由：∵75°-$\frac{1}{2}α$=β，
假設(shè)α+β=180°，
則75°-$\frac{1}{2}α$+α=180°，
解答α=210°＞180°，
∴不會(huì)出現(xiàn)α與β互補(bǔ)的情況．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．