Question

1．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線$y=\frac{1}{2}x+3$與拋物線y=x²相交于點(diǎn)A、B，與x軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₂（x₁＜x₂），C點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₃．請(qǐng)你計(jì)算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$與$\frac{1}{x_3}$的值，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．
（2）在數(shù)學(xué)的世界里，有很多結(jié)論的形式是統(tǒng)一的，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美．請(qǐng)你在下列兩組條件中選擇一組，證明$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$與$\frac{1}{x_3}$仍具有（1）中的數(shù)量關(guān)系．
①如圖2，∠APC=120°，PB平分∠APC，直線l與PA、PB、PC分別交于點(diǎn)A、B、C，PA=x₁，PC=x₂，PB=x₃．
②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)A（x₁，0）、B（0，x₂）作直線l，與直線y=x交于點(diǎn)C，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為x₃．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解方程組，可得x₁，x₂，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得x₃，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得PE，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)三角形面積的和差，$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．

解答 （1）解：由題意可得${x^2}=\frac{1}{2}x+3$．
∵x₁＜x₂，
∴${x_1}=-\frac{3}{2}$，x₂=2． 
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{1}{6}$．
∵直線$y=\frac{1}{2}x+3$與x軸交于點(diǎn)C，C點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₃，
∴x₃=-6．
∴$\frac{1}{x_3}=-\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．
（2）①證明：如圖1，
，
過(guò)點(diǎn)B作BE∥PA交PC于點(diǎn)E．
∴△BEC∽△APC．
由PB平分∠APC，∠APC=120°，可得△PBE是等邊三角形．
∴BE=PE=PB=x₃．
∴EC=x₂-x₃．
∵$\frac{BE}{AP}=\frac{EC}{PC}$，
∴$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$．
∴x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．
②解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，CE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖2，
．
∵點(diǎn)C在直線y=x上，且橫坐標(biāo)為x₃，
∴點(diǎn)C（x₃，x₃）．
∴CE=CD=x₃．
∵S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$．
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用解方程組得出x₁，x₂是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出$\frac{x_3}{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_3}}}{x_2}$是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出$\frac{1}{2}{x_2}{x_3}+\frac{1}{2}{x_1}{x_3}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}$是解題關(guān)鍵．