Question

16．如圖①，點A′、B′的坐標分別為（4，0）和（0，-8），將△A′B′O繞點O按逆時針方向旋90°轉后得△ABO，點A′的對應點是A，點B′的對應點是點B．
（1）寫出A、B兩點的坐標，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊（點C在x軸上，點D在線段AB上，點D不與A、B重合）如圖②，使點B落在x軸上，點B的對應點為點E，設點C的坐標為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當x為何值時，S的面積最大？最大值是多少？
（3）當4＜x＜8時，是否存在這樣的點C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質可以得到OA=OA′，OB=OB′，則A，B的坐標就可以得到，根據待定系數法就可以求出直線AB的解析式．
（2）①OB=8，C點的位置應分兩種情況進行討論，當C在OB的中點或在中點與B之間時，重合部分是△CDE；當C在OB的中點與O之間時，重合部分是梯形，就可以得到函數解析式．
②求出S與x之間的函數解析式，根據函數的性質就可以得到面積的最值．
（3）分△ADE以點A為直角頂點和△ADE以點E為直角頂點，兩種情況進行討論．根據相似三角形的對應邊的比相等，求出OE的長，就可以得到C點的坐標．

解答 解：（1）由旋轉得，OA=OA′，OB=OB′，
∵點A′、B′的坐標分別為（4，0）和（0，-8），
∴OA′=4，OB′=8，
∴A（0，4），B（8，0），
設直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+4，
（2）①Ⅰ、點E在原點和x軸正半軸上時，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（8-x）（-$\frac{1}{2}$x+4）=$\frac{1}{4}$（x-8）²，
∵CE=$\frac{1}{2}$OB=4
當E與O重合時
∴4≤x＜8
Ⅱ、當E在x軸的負半軸上時，設DE與y軸交于點F，則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE
又∵OE=8-2x
∴OF=4-x
∴S_{四邊形CDFO}=$\frac{1}{2}$x{4-x+（-$\frac{1}{2}$x+4）=-$\frac{3}{4}$x²+4x
當點C與點O重合時，點C的坐標為（0，0）
∴0＜x＜4
綜合Ⅰ、Ⅱ得，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（x-8）^{2}（4＜x＜8）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+4x（0＜x≤4）}\end{array}\right.$
②Ⅰ、當4≤x＜8時，s=$\frac{1}{4}$（x-8）²，
∴對稱軸是直線x=8，
∵拋物線開口向上，
∴在4≤x＜8中，S隨x的增大而減小
∴當x=4時，S的最大值=4，
Ⅱ、當0＜x＜4時，s=-$\frac{3}{4}$x²+4x
∴對稱軸是直線x=$\frac{8}{3}$
∵拋物線開口向下∴當x=$\frac{8}{3}$時，S有最大值為$\frac{16}{3}$
綜合①②當x=$\frac{8}{3}$時，S有最大值為$\frac{16}{3}$
（3）存在，點C的坐標為（5，0）
①當△ADE以點A為直角頂點時，作AE⊥AB交x軸負半軸于點E，
∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$
∵AO=4
∴EO=2
∴點E坐標為（-2，0）
∴點C的坐標為（3，0）（舍，4＜x＜8）
②當△ADE以點E為直角頂點時
同樣有△AOE∽△BOA，
∴∴$\frac{EO}{AO}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$
∴EO=2
∴E（2，0）
∴點C的坐標（5，0）
綜合Ⅰ、Ⅱ知滿足條件的坐標有（5，0）．

點評 此題四二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數的解析式，求函數的最值，以及相似三角形的對應邊的比相等．解本題的關鍵是確定函數關系式．