Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，E、F是⊙O上的點，連接AE、AF、EF，BC是⊙O的切線，過點A作AD∥BC．

（1）如圖1，求證：∠DAF＝∠AEF；

（2）如圖2，若AD＝BC＝AB，連接CD，延長AF交CD于G，連接CF，若FC＝BC＝4，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

（1）如圖1，連接BF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠AFB=90°，推出∠ABF=∠DAF，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接OF，OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，推出∠BAG=∠BOC，得到四邊形ABCD是正方形，于是得到AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BC=4，DG=BO=2，根據(jù)勾股定理得到AG==.

（1）證明：如圖1，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，

∴∠ABC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DAF+∠BAF＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∴∠ABF+∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAF，

∵∠AEF＝∠ABF，

∴∠AEF＝∠DAF；

（2）解：如圖2，連接OF，OC，

在△CBO與△CFO中，

，

∴△CBO≌△CFO（SSS），

∴∠OFC＝∠ABC＝90°，∠BOC＝∠FOC，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∵∠OAF＝，∠BOC＝，

∴∠BAG＝∠BOC，

∵AD＝BC，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠BAG＝∠DGA＝∠BOC，

在△ADG與△CBO中，

，

∴△ADG≌△CBO（AAS），

∴AD＝BC＝4，DG＝BO＝2，

∴AG＝＝2．