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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+x+x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D.

(1)求直線BC的解析式;

(2)如圖2,點P為直線BC上方拋物線上一點,連接PB、PC.當PBC的面積最大時,在線段BC上找一點E(不與B、C重合),使PE+BE的值最小,求點P的坐標和PE+BE的最小值;

(3)如圖3,點G是線段CB的中點,將拋物線y=﹣x2+x+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經過點D,y′的頂點為F.在拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得FGQ為直角三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)直線BC的解析式為y=﹣x+;(2)P(,),PE+BE=;(3)存在,Q(﹣1,(﹣1,),理由見解析

【解析】

(1)根據二次函數的解析式先求出點C、點B的坐標,然后利用待定系數法即可求出直線BC的解析式;

(2)如圖2中,過點PPMx軸于點M,交直線BC于點F,過點EENx軸于點N,設P(a,﹣a2+a+),則F(a,﹣a+則可得 PF=﹣a2+a,繼而得SPBC=﹣a2+a,根據二次函數的性質可得當a=時,SPBC最大,可得點P坐標,由直線BC的解析式為y=﹣x+可得∠CBO=30°,繼而可得PE+BE=PE+EN,根據兩點之間線段最短和垂線段最短,則當P,E,N三點共線且垂直于x軸時,PE+BE值最小,據此即可求得答案;

(3)由題意可得D(1,0),G(,),繼而可得直線DG解析式,根據拋物線y=﹣x2+x+=﹣(x﹣1)2+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經過點D,可得y'═﹣(x+1)2+,從而可得對稱軸為x=﹣1,然后分∠QDG=90°或∠QGD=90°,GQD=90°三種情況進行討論即可得.

1)當x=0時,y=﹣x2+x+=,

∴點C的坐標為(0,);

y=0時,有x2+x+=0,

解得:x1=﹣1,x2=3,

∴點B的坐標為(3,0),

設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),

B(3,0)、C(0,)代入y=kx+b,得:

,解得:

∴直線BC的解析式為y=﹣x+;

(2)如圖2中,過點PPMx軸于點M,交直線BC于點F,過點EENx軸于點N,

P(a,﹣a2+a+),則F(a,﹣a+),

PF=﹣a2+a,

SPBC=×PF×3=﹣a2+a,

∴當a=時,SPBC最大,

P(,),

∵直線BC的解析式為y=﹣x+,

∴∠CBO=30°,ENx,

EN=BE,

PE+BE=PE+EN,

∴根據兩點之間線段最短和垂線段最短,則當P,E,N三點共線且垂直于x軸時,PE+BE值最小,

PE+BE=PE+EN=PN=;

(3)D是對稱軸直線x=1x軸的交點,GBC的中點,

D(1,0),G(),

∴直線DG解析式y=x﹣,

∵拋物線y=﹣x2+x+=﹣(x﹣1)2+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經過點D,

y'═﹣(x+1)2+

∴對稱軸為x=﹣1,

∵△FGQ為直角三角形,

∴∠QDG=90°或∠QGD=90°,GQD=90°(不合題意,舍去),

當∠QDG=90°,設直線QD解析式y=﹣x+b,過D(1,0),

0=﹣+b,

b=,

y=﹣x+,

x=﹣1時,y=,

Q(﹣1,),

當∠QGD=90°,則直線QD解析式y=﹣x+,

∴當x=﹣1時,y=

Q(﹣1,).

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