Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D．

（1）求直線BC的解析式；

（2）如圖2，點P為直線BC上方拋物線上一點，連接PB、PC．當△PBC的面積最大時，在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使PE+BE的值最小，求點P的坐標和PE+BE的最小值；

（3）如圖3，點G是線段CB的中點，將拋物線y=﹣x2+x+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為F．在拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線BC的解析式為y=﹣x+；（2）P（，），PE+BE＝；（3）存在，Q（﹣1，）或（﹣1，），理由見解析

【解析】

（1）根據二次函數的解析式先求出點C、點B的坐標，然后利用待定系數法即可求出直線BC的解析式；

（2）如圖2中，過點P作PM⊥x軸于點M，交直線BC于點F，過點E作EN⊥x軸于點N，設P（a，﹣a2+a+），則F（a，﹣a+）則可得 PF=﹣a2+a，繼而得S△PBC=﹣a2+a，根據二次函數的性質可得當a=時，S△PBC最大，可得點P坐標，由直線BC的解析式為y=﹣x+可得∠CBO=30°，繼而可得PE+BE=PE+EN，根據兩點之間線段最短和垂線段最短，則當P，E，N三點共線且垂直于x軸時，PE+BE值最小，據此即可求得答案；

（3）由題意可得D（1，0），G（，），繼而可得直線DG解析式，根據拋物線y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，可得y'═﹣（x+1）2+，從而可得對稱軸為x=﹣1，然后分∠QDG=90°或∠QGD=90°，∠GQD=90°三種情況進行討論即可得.

（1）當x=0時，y=﹣x2+x+=，

∴點C的坐標為（0，）；

當y=0時，有﹣x2+x+=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴點B的坐標為（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將B（3，0）、C（0，）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+；

（2）如圖2中，過點P作PM⊥x軸于點M，交直線BC于點F，過點E作EN⊥x軸于點N，

設P（a，﹣a2+a+），則F（a，﹣a+），

∴PF=﹣a2+a，

∴S△PBC=×PF×3=﹣a2+a，

∴當a=時，S△PBC最大，

∴P（，），

∵直線BC的解析式為y=﹣x+，

∴∠CBO=30°，EN⊥x軸，

∴EN=BE，

∴PE+BE=PE+EN，

∴根據兩點之間線段最短和垂線段最短，則當P，E，N三點共線且垂直于x軸時，PE+BE值最小，

∴PE+BE=PE+EN=PN=；

（3）∵D是對稱軸直線x=1與x軸的交點，G是BC的中點，

∴D（1，0），G（，），

∴直線DG解析式y=x﹣，

∵拋物線y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，

∴y'═﹣（x+1）2+，

∴對稱軸為x=﹣1，

∵△FGQ為直角三角形，

∴∠QDG=90°或∠QGD=90°，∠GQD=90°（不合題意，舍去），

當∠QDG=90°，設直線QD解析式y=﹣x+b，過D（1，0），

∴0=﹣+b，

b=，

∴y=﹣x+，

當x=﹣1時，y=，

∴Q（﹣1，），

當∠QGD=90°，則直線QD解析式y=﹣x+，

∴當x=﹣1時，y=，

∴Q（﹣1，）.