Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對折至△AEF，延長EF交邊BC于點G，連結AG，CF，則下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤S△FGC＝；其中正確的結論有_____．

Answer 1

【答案】①②③④⑤

【解析】

由正方形和折疊的性質得出AF=AB，∠B=∠AFG=90°，由HL即可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正確，設BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，由勾股定理求出x=3，得出②正確；由等腰三角形的性質和外角關系得出∠AGB=∠FCG，證出平行線，得出③正確；分別求出△EGC，△AEF的面積，可以判斷④，由

，可求出△FGC的面積，故此可對⑤做出判斷．

解：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．
設BG=x，則CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2，
∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．
∴BG=GF=CG=3．
∴②正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG．
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG．
∴AG∥CF．
∴③正確；
∵S△EGC=×3×4=6，S△AEF=S△ADE=×6×2=6，
∴S△EGC=S△AFE；
∴④正確，
∵△CFG和△CEG中，分別把FG和GE看作底邊，
則這兩個三角形的高相同．
∴，
∵S△GCE=6，
∴S△CFG=×6=3.6，
∴⑤正確；
故答案為①②③④⑤．