【題目】如圖,已知AB⊙O的直徑,點(diǎn)CD⊙O上,點(diǎn)E⊙O外,∠EAC=∠D=60°.

1)求∠ABC的度數(shù);

2)求證:AE⊙O的切線;

3)當(dāng)BC=4時(shí),求劣弧AC的長(zhǎng).

【答案】1∠ABC=60°;

2)證明見(jiàn)解析;

3π.

【解析】試題分析:(1∠ABC∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角,可得∠ABC=∠D=60°;

AB是直徑,可得∠ACB=90°,從而可得∠BAC=30°,由∠EAC=60°,可得∠EABC=90°,即AE是切線;

連接BC,由已知條件可知△BOC是等邊三角形,從而可得弧AC所對(duì)圓心角的度數(shù),利用弧長(zhǎng)公式即可得劣弧AC的長(zhǎng).

試題解析:(1∵∠ABC∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角,∴∠ABC=∠D=60°;

2∵AB⊙O的直徑,∴∠ACB=90°∴∠BAC=30°

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,即BA⊥AE

∴AE⊙O的切線;

3)如圖,連接OC,

∴OB=OC∠ABC=60°,

∴△OBC是等邊三角形,∵OB=BC=4,∠BOC=60°,

∴∠AOC=120°

劣弧AC的長(zhǎng)為=π

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