【題目】如圖①,△ABC中,AB=AC,點M、N分別是AB、AC上的點,且AM=AN.連接MN、CM、BN,點D、E、F、G分別是BC、MN、BN、CM的中點,連接E、F、D、G.
(l)判斷四邊形EFDG的形狀是 (不必證明);
(2)現(xiàn)將△AMN繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度,其他條件不變(如圖②),四邊形EFDG的形狀是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論;
(3)如圖②,在(2)的情況下,請將△ABC在原有的條件下添加一個條件,使四邊形EFDG是正方形.請寫出你添加的條件,并在添加條件的基礎上證明四邊形EFDG是正方形.
【答案】(1)菱形;(2)不變,證明見解析;(3)添加條件:∠BAC=90°,證明見解析.
【解析】
(1) 四邊形EFDG是平行四邊形, 理由為: 如圖1,連接AM,由E、F,G、H分別為中點,利用利用中位線定理得到兩組對邊相等, 即可得證;
(2) 如圖②, 由旋轉(zhuǎn)得∠BAM=∠CAN, △BAM≌△CAN(SAS), BM=CN,點E、F分別是MN、BN的中點,可得EF∥DG,EF=DG,可得四邊形EFDG是平行四邊形,可得FD=BM=EF,所以四邊形EFDG是菱形;
(3) 設BM與CN交于點P,DF與BM交于點Q,由∠ABM=∠CAN,∠ABC+∠ACB=90°可得∠BPC=90°,∠BQD=90°,∠FDG=90°,所以菱形EFDG是正方形.
解:(1)四邊形EFDG是菱形,
∵點D、E、F、G分別是BC、MN、BN、CM的中點,
∴EF是△NBM的中位線,DG是△CBM的中位線,EG是△CMN的中位線,DF是△BCN的中位線,
∴EF=DG=BM,EG=DF=CN,
∵AB=AC,AM=AN,
∴BM=CN,
∴EF=DF=EG=DG,
∴四邊形EFDG是菱形,
故答案為:菱形;
(2)不變,
證明:由旋轉(zhuǎn)得∠BAM=∠CAN,
在△BAM和△CAN中,
∵,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴BM=CN,
∵點E、F分別是MN、BN的中點,
∴EF∥BM,EF=BM,
同理,DG∥BM,DG=BM,F(xiàn)D=CN,
∴EF∥DG,EF=DG,
∴四邊形EFDG是平行四邊形,
∴EF∥CN,BM=CN,
∴FD=BM=EF,
∴四邊形EFDG是菱形;
(3)添加條件:∠BAC=90°,
證明:如圖,設BM與CN交于點P,DF與BM交于點Q,
由(2)得∠ABM=∠ACN,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,
∴(∠ABC﹣∠ABM)+(∠ACB+∠ACN)=90°,即∠PBC+∠PCB=90°,
∴∠BPC=90°,
∵DF∥CN,
∴∠BQD=90°,
∵DG∥BM,
∴∠FDG=90°,
∴菱形EFDG是正方形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點O為Rt△ABC斜邊AC上一點,以點O為圓心,OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E,與AC相交于點D,連接AE.
(1)求證:AE平分∠CAB;
(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關系,并求當AE=EC時tanC的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CO⊥AB于點O,CD是⊙O的切線,切點為D.連接BD,交OC于點E.
(1)求證:∠CDE=∠CED;
(2)若AB=13,BD=12,求DE的長.
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【題目】骰子是一種特別的數(shù)字立方體(如圖),它符合規(guī)則:相對兩面的點數(shù)之和總是7,下面四幅圖中可以折成符合規(guī)則的骰子的是( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知直線a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3=∠4,則a與c平行嗎?為什么?
解:a與c平行;
理由:因為∠1=∠2 (_________________)
所以a//b (__________________________________________)
因為∠3=∠4 (_________________)
所以b//c (__________________________________________)
所以a//c (__________________________________________)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦.
(1)請你按下面步驟畫圖(畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出,確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑); 第一步,過點A作∠BAC的角平分線,交⊙O于點D;
第二步,過點D作AC的垂線,交AC的延長線于點E.
第三步,連接BD.
(2)求證:AD2=AEAB;
(3)連接EO,交AD于點F,若5AC=3AB,求 的值.
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【題目】如圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀將其均勻分成四個小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.
(1)你認為圖②中陰影部分的正方形的邊長等于________;
(2)請你用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積,方法一:__________________,方法二:________________;
(3)觀察圖②,你能寫出代數(shù)式(m+n)2,(m-n)2,mn之間的關系嗎?
(4)應用:已知m+n=11,mn=28(m>n),求m,n的值.
① ②
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,B、C、E三點在同一條直線上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求證:BC=DE
(2)若∠A=40°,求∠BCD的度數(shù).
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