Question

小明在學(xué)習(xí)三角形知識時，發(fā)現(xiàn)如下三個有趣的結(jié)論：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．

 （1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關(guān)系是              ；

如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關(guān)系是             ；

如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關(guān)系是                ；

（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明.

 

Answer 1

解：（1）平行；垂直；垂直；  

（2）選① 證明BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
          ∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
        又∵∠AFM+∠AMF=90°，
          ∴∠ABD=∠AFM，
          ∴BD∥MF.

選② 證明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
          ∴∠ABC=∠AME，
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠AMF，
          ∵∠ABD+∠ADB=90°，
          ∴∠AMF+∠ADB=90°
          ∴BD⊥MF.  
選③ 證明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
          ∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
          ∴∠ABC=∠AME，
          ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
          ∴∠ABD=∠AMF，
          ∵∠AMF+∠F=90°，
          ∴∠ABD+∠F=90°，
          ∴BD⊥MF