Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接BC，E是線段OC上一點(diǎn)，E關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)F正好落在BC上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，交線段BC于點(diǎn)Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．

①若△AOC與△BMN相似，請(qǐng)直接寫出t的值；

②△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)；（2）F(2，1)；（3）①t＝1；②當(dāng)t或秒時(shí)，△BOQ為等腰三角形

【解析】

（1）將A、B關(guān)坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解；

（2）確定直線BC的解析式為y＝﹣x+3，根據(jù)點(diǎn)E、F關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即可求解；

（3）①△AOC與△BMN相似，則，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ、OQ＝OB三種情況，分別求解即可．

解：（1））∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，AB＝4，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，

則有：，解得，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

∵點(diǎn)E、F關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，

又E到對(duì)稱軸的距離為1，

∴EF＝2，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入y＝﹣x+3中，

得：y＝﹣2+3＝1，

∴F（2，1）；

（3）①如下圖，連接BC交MN于Q，

MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，

△AOC與△BMN相似，則，

即：，

解得：t或或1（舍去、），

故：t＝1；

②∵M（2t，0），MN⊥x軸，∴Q（2t，3﹣2t），

∵△BOQ為等腰三角形，∴分三種情況討論，

第一種，當(dāng)OQ＝BQ時(shí)，

∵QM⊥OB

∴OM＝MB

∴2t＝3﹣2t

∴t；

第二種，當(dāng)BO＝BQ時(shí)，在Rt△BMQ中

∵∠OBQ＝45°，

∴BQ，

∴BO，

即3，

∴t；

第三種，當(dāng)OQ＝OB時(shí)，

則點(diǎn)Q、C重合，此時(shí)t＝0

而t＞0，故不符合題意

綜上述，當(dāng)t或秒時(shí)，△BOQ為等腰三角形．