【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中,GAD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且DAG中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)MA點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿看ACG的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)(M不與AG重合),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒,連接BM并延長(zhǎng)交AGN點(diǎn).

1)當(dāng)t為何值時(shí),△ABM為等腰三角形?

2)當(dāng)點(diǎn)NAD邊上時(shí),若DNHN,NH交∠CDG的平分線于H,求證:BNHN;

3)過(guò)點(diǎn)M分別作ABAD的垂線,垂足分別為EF,矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S的最大值.

【答案】(1)存在;(2)詳見(jiàn)解析;(3)當(dāng)t時(shí),S的最大值為

【解析】

1)四種情況:當(dāng)點(diǎn)MAC的中點(diǎn)時(shí),AM=BM;當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí),AB=BM;當(dāng)點(diǎn)MAC上,且AM= 時(shí),AM=AB;當(dāng)點(diǎn)MCG的中點(diǎn)時(shí),AM=BM;△ABM為等腰三角形;
2)在AB上截取AK=AN,連接KN;由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=90°,AB=AD,∠CDG=90°,得出BK=DN,先證出∠BKN=NDH,再證出∠ABN=DNH,由ASA證明△BNK≌△NHD,得出BN=NH即可;
3)①當(dāng)MAC上時(shí),即0t≤2時(shí),AMF為等腰直角三角形,得出AF=FM= t,求出S= AFFM= t2;當(dāng)t=2時(shí),即可求出S的最大值;
②當(dāng)MCG上時(shí),即2t4時(shí),先證明△ACD≌△GCD,得出∠ACD=GCD=45°,求出∠ACM=90°,證出△MFG為等腰直角三角形,得出FG=MGcos45°= t,得出S=SACG-SCMJ-SFMG,St的二次函數(shù),即可求出結(jié)果.

1)解:存在;當(dāng)點(diǎn)MAC的中點(diǎn)時(shí),AMBM,則△ABM為等腰三角形;

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí),ABBM,則△ABM為等腰三角形;

當(dāng)點(diǎn)MAC上,且AM 時(shí),AMAB,則△ABM為等腰三角形;

當(dāng)點(diǎn)MCG的中點(diǎn)時(shí),AMBM,則△ABM為等腰三角形;

2)證明:在AB上截取AKAN,連接KN;如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADC90°,ABAD,

∴∠CDG90°,

BKABAKNDADAN,

BKDN

DH平分∠CDG,

∴∠CDH45°

∴∠NDH90°+45°135°,

∴∠BKN180°﹣∠AKN135°

∴∠BKN=∠NDH,

RtABN中,∠ABN+ANB90°,

又∵BNNH,

即∠BNH90°,

∴∠ANB+DNH180°﹣∠BNH90°,

∴∠ABN=∠DNH,

在△BNK和△NHD中,,

∴△BNK≌△NHDASA),

BNNH;

3)解:①當(dāng)MAC上時(shí),即0t≤2時(shí),△AMF為等腰直角三角形,

AMt,

AFFM t,

S AFFM

當(dāng)t2時(shí),S的最大值= ×221;

②當(dāng)MCG上時(shí),即2t4時(shí),如圖2所示:

CMtACt2MG4t,

在△ACD和△GCD中,

∴△ACD≌△GCDSAS),

∴∠ACD=∠GCD45°,

∴∠ACM=∠ACD+GCD90°,

∴∠G90°﹣∠GCD45°

∴△MFG為等腰直角三角形,

FGMGcos45°=(4t 2 t

SSACGSCMJSFMG ×2××CM×CM×FM×FG,

2t222t2=﹣ t2+4t4=﹣t 2+

∴當(dāng)t時(shí),S的最大值為

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1)求拋物線的解析式;

2)設(shè)當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)了t (秒)時(shí),四邊形OBPC 的面積為 S ,求 S t 的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t 的取值范圍;

3)在線段 BC 上是否存在點(diǎn)Q ,使得DBQ 成為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);

2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1y2=ax2+bx+2m2+5,其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,1),y3=y1+y2,若y3y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求出當(dāng)0x3時(shí),y2的最大值.

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(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由;

(2)求使﹣2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值;

(3)若k=﹣2,λ=,試求λ的值.

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1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

2)若一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)C,求∠ACO的度數(shù).

3)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出:當(dāng)0時(shí),x的取值范圍.

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(1) P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;

(2)如圖(1),

拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)時(shí),求C3的解析式;

(3) 如圖(2),

點(diǎn)Qx軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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1)求被調(diào)查的學(xué)生人數(shù);

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

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1)求拋物線的解析式;

2)連接BE,求h為何值時(shí),△BDE的面積最大;

3)已知一定點(diǎn)M﹣2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線y=h,使△OMF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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