Question

11．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．
（1）求證：MB=MC；
（2）填空：當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形．（本小題不需寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據(jù)正方形的判定推出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M為AD的中點，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠A=∠D}\\{AM=MD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC；

（2）解：當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四邊形MENF是正方形，
即當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，
故答案為：1：2．

點評 本題考查了矩形的性質和判定、平行四邊形的判定、正方形的判定、全等三角形的性質和判定、三角形的中位線的應用等知識，正確掌握正方形的判定方法是解題關鍵．