Question

1．如圖，直線y=-2x+2與拋物線y=ax²+bx（a＜0）相交于點(diǎn)A，B．雙曲線y=$\frac{k}{x}$過(guò)A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-2），點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，且tan∠Aoy=$\frac{1}{4}$．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計(jì)算△AOB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△AOP的面積等于△AOB的面積？若存在，請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先用待定系數(shù)法求出雙曲線解析式，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出△AOB的面積，在求出△BOC的面積即可；
（3）先求出直線PB解析式為y=-4x+6，和拋物線解析式為y=x²-3x，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴k=-4，
∴雙曲線解析式為y=-$\frac{4}{x}$，
∵tan∠AOy=$\frac{1}{4}$，
設(shè)A（-m，4m），
∵點(diǎn)A 過(guò)雙曲線，
∴m=1或m=-1（舍），
∴A（-1，4）；
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=4a+2b}\\{4=a-b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-3x，
（2）設(shè)直線y=-2x+2交于x軸于C，令y=0，
∴x=1，
∴OC=1，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×2=3，
（3）存在點(diǎn)P（-3，18），
理由：假設(shè)存在點(diǎn)P，使△AOP的面積等于△AOB的面積；
∴點(diǎn)P到直線OA的距離等于點(diǎn)B到直線OA的距離，
∴PB∥AO，
∵直線AO解析式為y=-4x，
∴設(shè)直線PB的解析式為y=-4x+f，
∵直線PB過(guò)點(diǎn)B，
∴-2=-4×2+f，
∴f=6，
∴直線PB解析式為y=-4x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+6}\\{y={x}^{2}-3x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$（舍），
P（-3，18）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的性質(zhì)，雙曲線的性質(zhì)，面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．