Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將矩形繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在線段AC上，得矩形CEFG，邊CD與EF交于點(diǎn)H，連接DG．

(1)CH＝ ．

(2)求DG的長．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=BC，然后根據(jù)△ABC和△CEH相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；

（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，然后求出△ABC和△GMC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM、MG，再求出DM，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得到DG．

試題解析：（1）在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，

∴AC=，

∵矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得矩形CEFG，

∴CE=BC=3，

∵∠BAC+∠ACB=90°，∠ECH+∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠ECH，

又∵∠B=∠CEH=90°，

∴△ABC∽△CEH，

∴，

即

解得；

（2）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，

∵∠ACB+∠ACD=∠GCM+∠ACD=90°，

∴∠ACB=∠GCM，

又∵∠B=∠GMC=90°，

∴△ABC∽△GMC，

∴，

即，

解得CM=，MG=，

∴DM=CD-CM=4-=，

在Rt△DMG中，DG=．